则有。
注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果则 （1） （2） （3）当时，时，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论： （1） （2） （3）
用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。
（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小）
定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作
常用希腊字母，…来表示无穷小量。
定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是： 可表示为A与一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。 （2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。 （3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：
振荡型发散
（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。 2.无穷大量（简称无穷大）
定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。 注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。 3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。
定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。 当无穷大
无穷小 当为无穷小
无穷大
4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较
定义设是同一变化过程中的无穷小量，即
。
（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；
（2）如果则称与为同阶的无穷小量； （3）如果则称与为等价无穷小量，记为； （4）如果则称是比较低价的无穷小量。当
等价无穷小量代换定理： 如果当时，均为无穷小量，又有在，则。 均为无穷小 又有
且存
这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有： 当时，
sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;
（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ
重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式
令
这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。 其结构式为：