号位 封座 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班
2019届高考全国统一招生模拟测试卷
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．设集合A??x?N5?4x?x2?0?，集合B??0,2?，则AIB?（ ）
A．?1,2? B．?0,2?
C． ?
D．?0,1,2? 【答案】D 【解析】A??x?N?1?x?5???0,1,2,3,4?，B??0,2?，∴AIB??0,1,2?，故选D．
2．下列命题正确的是（ ） A．命题“?x0??0,???，lnx0?x0?1”的否定是“?x??0,???，lnx?x?1”
B．命题“?x0??0,???，lnx0?x0?1”的否定是“?x??0,???，lnx?x?1”
C．命题“若x2?2，则x?2或x??2”的逆否命题是“若x?2且x??2，则x2?2” D．命题“若x2?2，则x?2或
x??2”的逆否命题是“若x?2或x??2，则x2?2”
【答案】C
【解析】命题“?x0??0,???，lnx0?x0?1”的否定是“?x??0,???，lnx?x?1”，
故选C． 3．设a?log0.10.2，b?log1.10.2，c?1.20.2，d?1.10.2则（ ）
A．a?b?d?c B．c?a?d?b C．d?c?a?b
D．c?d?a?b
【答案】D 【解析】0?a?1，b?0，c?1，d?1，由y?x0.2在R上为增函数，
∴c?d，故选D．
4．设x?R，若“log2?x?1??1”是“x?2m2?1”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．???2,2?? B．??1,1?
C．??2,2?
D．??1,1?
【答案】D
【解析】依题意?1,3???2m2?1,???，∴2m2?1?1，∴?1?m?1，故选D．
5．已知二次函数f?x?的图象如下图所示，则函数g?x??f?x??ex的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象知，当x??1或x?1时，f?x??0，
∴g?x??0，当?1?x?1时，g?x??0，故选A． 6．已知函数y?Asin??x????b的最大值为3，最小值为?1．两条对称轴间最短距离为
??2，直线x?6是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）
A．y?2sin????2x????2sin?2x????6? B．y???1?6?
C．y?2sin????4x??6??1?
D．y?2sin?????2x?3??1?
【答案】B
【解析】由?A?b?3?A?2?，∴?，又
T????A?b??1?b?122，∴T??，∴??2，
∴y?2sin?2x????1，又2???????k?62，k?Z，
∴????k?6，k?Z，
∴y?2sin??7??????2xB．
???1??2sin?2x??6??16，故选
??7．已知函数y?4x?3?2x?3，若其值域为?1,7?，则x可能的取值范围是（ ）
A．?2,4? B．???,0?
C．?0,1?U?2,4?
D．???,0?U?1,2?
【答案】D 2【解析】令t?2x，则y?t2?3t?3???3?3?t??，
?2?4当
x?0或1?x?2时，则0?t?1或2?t?4，∴1?y?7，故选D．
8．已知定义在R上的函数f?x?满足f?x?6??f?x?，且y?f?x?3?为偶函数，若f?x?在?0,3?内
单调递减，则下面正确的结论是（ ） A．f??4.5??f?3.5??f?12.5? B．f?3.5??f??4.5??f?12.5?
C．f?12.5??f?3.5??f??4.5? D．f?3.5??f?12.5??f??4.5?
【答案】B 【解析】∵T?6，f?x?图象关于直线x?3对称，
∴f?3.5??f?2.5?，f??4.5??f?1.5?，f?12.5??f?0.5?，
又f?x?在?0,3?内单调递减，∴f?3.5??f??4.5??f?12.5?．故选B．
9．函数
f?x??sin??x?????????0,??的部分图象如图所示，若将f?x?的图象上各点的横坐标伸
?2??长到原来的?倍后，再把得到的图象向左平移m?m?0?个单位，得到一个偶函数的图象，则m的值
可能是（ ）
A．???8 B．
?8 C．
38 D．
?4
【答案】B 【解析】∵T?144，∴T?1 ∴
2???1，∴??2?，
又2??1???2k???，k?Z，∴??2k???824， 又∵?????，∴f?x??sin????2，∴?4?2?x，
?4??若将f?x?的图象上各点的横坐标伸长到原来的?倍后，再把得到的图象向左平移m?m?0?个单位，
则y?sin?2?x?m?????为偶函数，∴
2m?????k??4??42，
∴m???k?82，k?Z．故选B．
10．已知函数y?f?x??x?R?满足f?x?2??f??x?，若函数y?ex?1的图象与函数y?f?x?图象的
交点为?x1,y1?，?x2,y2?，L，?xn,yn?，则x1?x2?L?xn?（ ）
A．0 B．n C．2n
D．4n
【答案】B 【解析】y?f?x?与y?ex?1的图象均关于x?1对称，由对称性，可知x1?x2?L?xn?n，故选B．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB?2sinAcosC?0，则当cosB取最小值时，c?a（ ）
A．2 B．3
C．2 D．33
【答案】B
222【解析】由正弦定理得b?2a?a2?b?c?022ab，∴a2?2b?c2?0，b2?c?a22，
22∴cosB?a?c2?b2?3a?c2?3?a?c?32ac4ac4c4a2，
当
3a?c34c4a，即
c?a时cosB取最小值．故选B．
?12．已知函数f?x????lnx,0?x?1?1,x?1，若0?a?b且满足f?a??f?b?，则af?b??bf?a?的取值范围
??x是（ ）
A．?1?1??1,?e??
B．?,1?1?????e??
C．?1??1,?1?e??
D．?1??0,?1?e??
【答案】A 【解析】由f?a??f?b?，∴?lna?1a?1b且由0??lna?1得
1?e，
又af?b??bf?a??a?1?b??lna???alna?1?1???a?1b?，令g?x???xlnx?1?1??e???x?1?，
?e?∵g??x???lnx?1，令g'?x??0，∴x?11?x?1'0e，当
e时，g?x??，
∴g?x?在?1,1??上递减，∴1?g?x??1?1?e??e，故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知角?的顶点与原点重合，始边与
x轴非负半轴重合，终边过点A?t,2t??t?0?，则
sin???????3???___________．
【答案】?25+1510
2t2t【解析】由三角函数的定义得sin?????25t2??2t?25t5，cos???155，
sin???in?cos??cos?sin???25?1????s??15?32?15?3??335??2?5????5?210．
14．若函数f?x??a?2ex?1是奇函数，则常数a等于_________．
【答案】?1 【解析】由ex?1?0，知定义域为???,0?U?0,???，
由f?x??f??x??0，即a?2?a?2ex?1e?x?0?1恒成立，解得a??1．
15．若???0,???2?，且sin2??2cos2??2，则tan??___________．
??【答案】2 【解析】∵sin2??4cos2?，∴2sin?cos??4cos2?，又0????2，∴tan??2．
16?．f?x???x2已知函数
?1,x?0?，若方程???x?1, x?0?f?x??2??af?x??1?0有四个不等的实数根，则实数a的
取值范围是___________． 【答案】???,?2? 【解析】令t?f?x?，则t2?at?1?0①，欲使原方程有四个不等根， 由图像知方程①两根为0?t1?1，t2?1或0?t1?1，t2?0（舍）或t1?1，t2?0（舍）；
令g?t??t2，则?at?1?g?0??0????g?1??0，∴a??2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数f?x??cos2???3sin????????1??x??6?????xf?????1，
?6?cos???x?6?????0??2，满足f????0，且???的最小值为
?
4．（1）求函数f?x?的解析式；
（2）求函数f?x?在????0,
?2?上的单调区间和最大值、最小值．?【答案】（1）f?x??sin?2x????；（2）1，?1?6??2．
【解析】（1）
1?cos????2?x?f?x???3???3cos??x????????x?12??cos????
?6??26?21?cos????2?x???3???3cos????2??x??sin6???x???1???
?6?2=3sin???1???2?2?x??co?3?s?2?2?x??3??
=sin?????sin????2?x??36??2?x??，
???6?又f?????1，f????0，且???的最小值为
?T??4，则
44， ∴周期T?2?2???，则??1，
∴f?x??sin?2x????；
?6??（2）∵0?x?????2x???5?2，∴666， 令???2x????得0?x??6623， 令
??2x???5???x??266得
32，
∴f?x?的增区间为??????0,,??．
?3?，减区间为???32??∵
f?x?在区间????0,上单调递增，在区间上?????3???,上单调递减，
?32??又∵f?0???1f???12，
???，
?2?2∴f?x?min?f?0???1x?max?f??????12，f?． ?3?18．（12分）已知函数f?x??1x3?bx2?cx?c3．
（1）当x?1时，f?x?有极小值?196，求实数b，c；
（2）设g?x??f?x??cx，当x??0,1?时，在g?x?图象上任意一点P处的切线的斜率为k，若k?1，
求实数b的取值范围． 【答案】（1）
10?2，?2；（2）???,．
?f??1??0【解析】（1）∵f??x??x2?2bx?c，又??，
?f??1???196?2b?c?1?0?即?b??2c?7，∴
?1?2，此时f??x??x2?x?2??x?2??x?1?， ?b??0?2??c??2当 x???2,1?时，f??x??0，f?x?递减 当x??1,???时，f??x??0，f?x?递增，
∴f?x?在x?1处取得极小值，符合题意，
故b?12，c??2；
（2）∵g?x??1x3?bx2?c2bx3，∴k?g??x??x2?，
∵x2?2bx?1对一切0?x?1恒成立，∴b?1?x2x2对一切0?x?1恒成立
又y?1?x?02x2在?0,1?上为减函数，∴
1?x2x2，∴b?0，
故b的取值范围为???,0?．
19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A,B,C所对的边，已知acosA?R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2?c2?b2?43S△ABC3，其中S为的面积．
（1）求sinC；
（2）若a?b?2?3，求△ABC的周长．
【答案】（1）2?6；（2）32?3?6422．
【解析】（1）由正弦定理得：a?2RsinA，∴2RsinAcosA?R，
∴sin2A?1，又0?2A?2?，
∴2A??A??2，则4．S?1acsinB2，a2?c2?b2?43?1?acsinB32，
由余弦定理可得2accosB?23acsinB3，
∴tanB?3，又0?B??，∴B??3，
∴sinC?sin?A?B??sin????2?6????
?43?4；（2）由正弦定理得
a?sinA?2bsinB3，
?又?a?2a?b?2?3，∴?，
??b?3?6?2?6∴
c?2?2242，
2∴△ABC的周长a?b?c?32?3?622．
20．（12分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为
?x?8?,0?xy???4?2，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时
?36?,4?x?10?x?2
刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒a个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值？（精确到0.1） 【答案】（1）7；（2）0.2． ?0?x?4?4?x【解析】（1）依题意，令y?4，则??8?x或??10?36，
??4?2??4?x?2解得0?x?4或4?x?7，∴0?x?7，
∴一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天；
（2）设从第一次喷洒起，经x?6?x?10?天空气中的去污剂浓度为f?x?，
则
f?x??36?a?x?6?36?a?8??x?11a?2?6?x?10x，
?2???x?22依题意
f?x??4对一切6?x?10恒成立，∴
f?x?min?4， 又f?x?在?6,10?上单调递减，∴f?x?min?f?10??3?6a，
∴3?6a?4，∴a?1?0.26，故a的最小值为0.2．
21．（12分）已知函数f?x??xlnx?ax?a．
（1）若a??1,???，求函数f?x?在?1,e?上的最小值； （2）若g?x??x2?f?x?，当x??1,???时，g?x??0恒成立，求整数a的最小值．
（参考数据ln2?0.7，ln3?1.1）
【答案】（1）见解析；（2）?2． 【解析】（1）∵f??x??lnx?1?a?x?0?，令
f??x??0，则x?ea?1，
∵a?1，∴x?ea?1?1，
①当1?a?2时，1?ea?1?e，
当1?x?ea?1时，f??x??0， 当ea?1?x?e时，
f??x??0，
∴f?x?在??1,ea?1?上递减，在?ea?1,e??上递增 ∴f?x??f?ea?1???ea?1?a；
min
②当a?2时，则ea?1?e，
∵
f??x??0对一切1?x?e恒成立，∴f?x?在?1,e?上递减 ∴f?x??f?e??e?ae?amin，
综上当1?a?2时f?x??f?ea?1???ea?1?a；
min当a?2时，f?x??feae?amin???e?．
（2）∵g?x??x2?xlnx?ax?a?0对一切x?1恒成立，
2∴a?xlnx?x对一切x?1恒成立，
x?122令h?x??xlnx?x???x?3x?lnx?11x?1?x?1?，∴h??x??x?1?2?x?，
令??x???x2?3x?lnx?1?x?1?，∴???x????2x?1??x?1?x?x?1?，
当x?1时，???x??0，∴??x?在?1,???上递减，
又??1??1?0，??2??1?ln2?0，??9???11?ln9?0，?4??164 ∴?x0??9??2,?0024?使得?x，即h??x?3x??0??0??，此时lnx0??x00?1，当1?x?x0时h??x??0，当x?x0时h??x??0，
∴h?x?在?1,x0?上递增，在?x0,???上递减，
x32∴h?x?0?2x0?x0max?h?x0?????xx0?x0?1?，
0?1又2?x450?9?h??24，∴?16?x0?，
又a?Z，∴amin??2．
另解：∵g?x??x2?xlnx?ax?a?0对一切x?1恒成立，
取x?e，则e2?e?ae?a?0，∴a??e，
又a?Z，取a??2，此时g?x??x2?xlnx?2x?2，
令h?x??x?lnx?2?2x?x?1?，
2∴h??x??x?x?2?x?2??x?1?x2?x2?x?1?，
当1?x?2时，h??x??0，当x?2时，h??x??0，