∴h?x?在?1,2?上递减，在?2,+??上递增，∴h?x?min?h?2??1?ln2?0， ∴h?x??x?lnx?2?2?0x对一切x?1恒成立， 又x?1，∴当a??2时，g?x??x2?xlnx?2x?2?0恒成立，
故amin??2． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xoy中，已知曲线?os?C?x?2c1、C2的参数方程分别为C1：??为参数，C??y?3sin???2：
?x?1?tcos???t为参数y?tsin?．
??（1）求曲线C1、C2的普通方程； （2）已知点P?1,0?，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，求PA?PB的取值范围．
x22【答案】（1）C1：
4?y3?1，C2：x?1；
（2）?3,4?． 【解析】（1）曲线Cx2y21的普通方程为：4?3?1，
当????k?2，k?Z时，曲线C2的普通方程为：y?xtan??tan?， 当????k?2，k?Z时，曲线C2的普通方程为：x?1；
（或曲线C2：xsin??ycos??sin??0）
（2）将C?x?1?tcos?2：??t为参数y?代入Cx2
??tsin?1：
4?y23?1化简整理得：?sin2??3?t2?6tcos??9?0，
设A，B对应的参数分别为tt?t?1，t2，12??6cossin2??3，t?91t2?sin2??3
则??36cos2??36?sin2??3??144?0恒成立， ∴
PA?PB?t1?t2?t1?t2??t1?t2?2?4t121t2?sin2??3，
∵sin2???0,1?，∴PA?PB??3,4?．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f?x??x?1?x?1．
（1）解不等式f?x??2；
（2）设函数f?x?的最小值为m，若a，b均为正数，且1?4?mab，求a?b的最小值．
【答案】（1）??1,1?；（2）
92．
??2x,x??1【解析】（1）∵
f?x????2,?1?x?1，
??2x,x?1∴?x??1?或??1?x?1?x?1??2x?2?或?，
?2?2?2x?2∴?1?x?1，
∴不等式解集为??1,1?； （2）∵x?1?x?1??x?1???x?1??2，∴m?2，
又
1?4?2ab，a?0，b?0，∴
1?2?12ab，
∴a?b??a?b??12?52ab59???2a??????2?b，
?2b2a22??1?4?2?当且仅当?ab，即?a?3?2时取等号，
??b?2a??b?3∴?a?b?min?92．
号位 封座 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班
2019届高考全国统一招生模拟测试卷
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．设集合A??1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?AIB?UC?（ ）
A．?1,2,3? B．?1,2,4? C．?2,3,4?
D．?1,2,3,4?
【答案】D 2．复数z??3?2i?i的共轭复数z?（ ）
A．2?3i B．?2?3i
C．2?3i
D．?2?3i
【答案】C
3．如下所示，茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为（ ）
甲组乙组 90x 2195 y 8 7 424A．3，6 B．3，7 C．2，6
D．2，7
【答案】B
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?aS55?0，则
?S（ ）
2A．?11 B．?8
C．5
D．11
【答案】A
5．设a?2?logc?log3，b34，
25，则a，b，c的大小关系为（ ） 3A．b?c?a
B．b?a?c
C．a?b?c D．a?c?b
【答案】B 6．已知“x?2”是“x2?a?a?R?”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．???,4? B．?4,??? C．(0,4] D．(??,4]
【答案】D
7．一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
?y?x8．设变量x，y满足约束条件??x?y?2，则目标函数z?2x?y的最小值为（ ）
??y?3x?6A．3 B．2 C．1 D．?1
【答案】A 9．已知直线x??f?6是函数f?x??sin?2x???的图像的一个对称轴，其中???0,2??，且
?????f???，
?2?则f?x?的单调递增区间是（ ）
A．????k???,k??2??,k????k??63??k?Z??
B．?k???36??Z??
C．???
D．???k?,k????k?Z2????k??,k???2??k?Z??
【答案】B
10．点A，B，C，D，E是半径为5的球面上五点，A，B，C，D四点组成边长为42的正
方形，则四棱锥E?ABCD体积最大值为（ ）
A．
2563 B．256 C．
643
D．64
【答案】A 211．若f?x??ex?e?x，则f?x?1??e?1e的解集为（ ） A．?0,1? B．??1,0?
C．?0,2?
D．??1,2?
【答案】C 12．设抛物线
y2?4x的焦点为F，过点M??1,0?的直线在第一象限交抛物线于
A、
B，使uuuruuurAF?BF?0，则直线AB的斜率k?（ ）
A．2 B．22 C．3 D．33
【答案】B
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知直线y?x与圆x2?y2?4x?0相交于两点A、B，则
AB? ．
【答案】22 14．若直线
y?kx?1?k?R?与曲线
y?x3?bx2?c?b,c?R?相切于点M?1,2?，则
b2?c2?__________． 【答案】5
15．已知?an?的前n项和Sn?n2，数列?1???的前5项和T5? ．
?an?1?1?【答案】
524
16．如图所示，在uuuruuur△ABC中，AD?DB，F在线段CD，设AB?，AC?b，uuuraAF?xa?yb，则
1?4xy的最小值为__________．
【答案】6?42
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，角A、B、C成等差数列，b?13． （1）若3sinC?4sinA，求c的值；
（2）求a?c的最大值．
【答案】（1）4；（2）213．
【解析】（1）由角A，B，C成等差数列，得2B?A?C，又A?B?C??，得B??3．
又由正弦定理，3sinC?4sinA，得3c?4a，即a?3c4，
?c2?2accosB，即13??3c?2由余弦定理，得b2?a2??c2?2?3c?c?1，
?4??42解得c?4．
（2）由正弦定理得a?c?b?213a?213sinAsinAsinCsinB3，∴3，c?213sinC3，
a?c?213A?sinC3?sin3?sin??213?sinA??A?B???
?213?sinA?sin???????3??A??213sinA?3?，
???????6??由0?A?2?A??????3，知当62，即A3时，?a?c?max?213．
18．（12分）编号分别为A1，A2，L，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 （1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间 ?10,20? ?20,30? ?30,40? 人数 （2）从得分在区间?20,30?内的运动员中随机抽取2人．
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 【答案】（1）4，6，6；（2）①见解析；②13．
【解析】（1）4，6，6；
（2）①解：得分在区间?20,30?内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13从中随机
抽取2人，所有可能的抽取结果有：?A3A4?，?A3A5?，?A3A10?，?A3A11?，?A3A13?，?A4A5?，?A4A10?，?A4A11?，?A4A13?，?A5A10?，?A5A11?，?A5A13?，?A10A11?，?A10A13?，?A11A13?，共15种．
②解：“从得分在区间?20,30?内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：?A4A5?，?A4A10?，?A4A11?，?A5A10?，?A10A11?，共5种． ∴P?B??5?1153．
19．（12分）如图，在四面体D?ABC中，已知AD?BC?AC?5，AB?DC?6，tan?DAB?43，
M为线段AB上的动点(不包含端点) ．
DC
AMB（1）证明：AB?CD；
（2）若AM?2MB，求三棱锥B?DMC的体积．
【答案】（1）见解析；（2）27．
【解析】（1）证明：作取AB中点O，连DO，CO．由AC?BC，O为中点，故OC?AB．
由AD?5，AO?3，sin?DAB?45知OD?4，故OD?AB，
∴AB?平面DOC，CD在平面DOC内，∴AB?CD．
DC
AOMB
（2）∵AM?2MB，∴VD?AMC?2VD?BMC，∴V1D?BMC?V3D?ABC，
∵VD?ABC?VA?DOC?VB?DOC，由（1）知AB?平面DOC，
∴VD?ABC?V1A?DOC?VB?DOC?AB?S3?DOC，
∴△DOC为等腰三角形，S△DOC?37，
∵VD?ABC?VA?DOC?V1B?DOC?AB?S1?DOC??6?37?6733，
∴V?1D?BMCV3D?ABC?27．
20．（12分）已知椭圆C:9x2?y2?m2?m?0?，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C交于A、
B两点，线段AB的中点为M．
（1）证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （2）若l过点?m?,m?OAPB能否为平行四边形？若能，求l?3?，延长线段OM与C交于点?P，四边形的斜率；若不能，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB能为平行四边形，当l的斜率为4?7或4?7时，四边
形OAPB为平行四边形． 【解析】（1）设直线y?kx?b?k?0,b?0?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，M?xM,yM?，
将y?kx?b代入9x2?y2?m2，得?k2?9?x2?2kbx?b2?m2?0，
故xx1?x2??kb9byMM?2y?b??92k?9，
M?kxMk2??9，于是直线OM的斜率kOM?x，
Mk即kOM?k??9，所是命题得证．
（2）四边形OAPB能为平行四边形． ∵直线l过点?m?,m?，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k?0且k?3．
?3??由（1）得OM的方程为y??9xk．设点P的横坐标为xP．
?922由?y??x?k，得x2P?km，即x?kmP?．
?9x2?y2?m9k2?813k2?9?2将点?m?,m?l的方程得?3?k??3?的坐标代入直线?b?m3，
因此x?k?3?M?mk3?k2?9?，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，
即
?kmmkx?k?3?P?2xM．于是?2?3k2?93?k2?9?．解得k1?4?7，k2?4?7．
∵ki?0，ki?3，i?1，2，
∴当l的斜率为4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形．
21．（12分）已知函数f?x??lnxx?1．
（1）确定函数f?x?在定义域上的单调性；
（2）若f?x??kex在?1,???上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）f?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减；（2）k?1e．
?的定义域为?1?1【解析】（1）函数?lnxf?x0,1?U?1,???，
f'?x??x，
?x?1?2令g?x??1?1?lnx，则有g'?x??1?xxx2，
令g'?x??1?xx2?0，解得x?1，
∴在?0,1?上，g'?x??0，g?x?单调递增，在?1,???上，g'?x??0，g?x?单调递减．
又g?1??0，∴g?x??0在定义域上恒成立，即f'?x??0在定义域上恒成立，
∴f?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减． （2）由f?x??kex在?1,???上恒成立得：
lnx?kex?1,???x?1在上恒成立．
整理得：lnx?k?x?1?ex?0在?1,???上恒成立．
令h?x??lnx?k?x?1?ex，易知，当k?0时，h?x??0在?1,???上恒成立不可能，
∴k?0，
又h'?x??1?kxexx，h'?1??1?ke， （i）当k?1e时，h'?1??1?ke?0，
又h'?x??1?kxexx在?1,???上单调递减，
∴h'?x??0在?1,???上恒成立，则h?x?在?1,???上单调递减，
又h?1??0，∴h?x??0在?1,???上恒成立．
（ii）当0?k?1时，h'?1??1?ke?0，h'?1?1???k?ek?0e?k，
?
又h'?x??1?kxexx在?1,???上单调递减，
∴存在x0??1,???，使得h'?x0??0，
∴在?1,x0?上h'?x??0，在?x0,???上h'?x??0，
∴h?x?在?1,x0?上单调递增，在?x0,???上单调递减，
又h?1??0，∴h'?x??0在?1,x0?上恒成立，
∴h?x??0在?1,???上恒成立不可能．
综上所述，k?1e．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
?l的参数方程为?x?t?1平面直角坐标系中，直线?y?3t?1(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴
??建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2cos?1?cos2?．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
（2）已知与直线l平行的直线l?过点M?2,0?，且与曲线C交于A，B两点，试求MA?MB．
【答案】（1）y?3?x?1??1，y2?2x；（2）
163．
【解析】（1）把直线l的参数方程化为普通方程为y?3?x?1??1．
由??2cos??22?1?cos2?，可得?1?cos??2?cos?，
∴曲线C的直角坐标方程为y2?2x．
（2）直线l的倾斜角为
?，∴直线l?的倾斜角也为?33，
又直线l?过点M?2,0?，
??x?2?1t?∴直线l?的参数方程为?2?(t?3为参数)，
??y?t??2将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t?2?4t??16?0，
设点A，B对应的参数分别为t1?，t2?． 由一元二次方程的根与系数的关系知t1?t2???16t43，t1???2?3．