∴
MA?MB?163．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f?x??x?x?1．
y（1）解不等式f?x??3； （2）若f?x??f?y??2，求x?的取值范围．
【答案】（1）???,?1?U?2,???；（2）?0,2?． 【解析】（1）当x结合x当0?当x?0?0时，原不等式化为?x?1?x?3，解得x??1，
，得x??1．
x?1时，原不等式化为x?1?x?3，无解．
?2
?1，得x?2?1时，原不等式化为x?x?1?3，解得x，结合x．
综上，原不等式的解集为???,?1?U?2,???； （2）f?x??又∴∴
f?y???x2，即
x?x?1?y?y?1?2，
x?x?1?x??1??1，．
y?y?1?y??y?1??1，
x?x?1?y?y?1?2
x?x?1?y?y?1?1x?x?1?y?y?1?2，且，
∴0?
x?1，0?y?1，∴0?x?y?2．
2019届高考全国统一招生模拟测试卷
座位号 A．
31B．
21C．
32D．
65文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂【答案】D 5．设aA．a?log32，b?ln2，c?12?5，则（ ）
C．c?a?b?b?c
B．b?c?a
D．c?b?a
【答案】C
6．已知平面向量a，b的夹角为，且
3π封 a?1，
b?12，则
a?2b?（ ） 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．设复数z满足z?2z?6?i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D 2．已知全集U?R，
N??x1??2x?1??，M??xy?ln??x?1??，
则图中阴影部分表示的集合是（ ） ?8?
A．?x?3?x??1?
B．?x?3?x?0?
C．?x?1?x?0?
D．?xx??3?
【答案】C
3．设等差数列?an?的前n项和为Sn，点?a1008,a1010?在直线x?y?2?0上，则S2017?（ ）
A．4034 B．2017 C．1008 D．1010
【答案】B
4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f?x??x2?2ax?2有两个不同零
点的概率为（ ）
A．1
B．3 C．2
D．32
【答案】A
7．如图给出的是计算1?1?1??1352017的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）
A．i?1008? B．i?1009? C．i?1010?
D．i?1011?
【答案】B
8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为（ ）
A．23
B．4 C．6
D．42 【答案】C
?x?y?1?09．若实数x，
y错误！未找到引用源。满足不等式组??x?y?1?0错误！未找到引用源。，则目标
??2x?y?4?0函数z?y?5错误！未找到引用源。的最大值是（ ）
4?x
A．?1 B．?54 C．54
D．?14 【答案】A 10．已知f?x??sin??2019x?π??cos?2019?x?π?的最大值为?6、x???3?A，若存在实数x?12，使得对任意实数x
总有f?x1??f?x??f?x2?成立，则Ax1?x2的最小值为（ ） A．
π2019B．
4πC．
2ππ
2019
2019
D．
4038
【答案】C 2y211．已知双曲线
x2??1a,b?0ab2??，过其右焦点F且平行于一条渐近线的直线l与另一条渐近线交
于点A，l与双曲线交于点B，若BF?2AB，则双曲线的离心率为（ ） A．233 B．3 C．2 D．2
【答案】B 12．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，边长为6，面A1DB与面A1DC1的重心分别为E、F，求正方
体外接球被EF所在直线截的弦长为（ ）
A．354 B．352 C．704 D．702
【答案】D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上． 13．若a，b为正实数，且a?b?1，则
1?22ab的最小值为________．
【答案】92
n14．等差数列?an?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则?1?____________．
k?1Sk
【答案】
2nn?1
215．已知AB为圆O:x2?y2?1的直径，点P为椭圆
x?y2?1PA?PB43上一动点，则的最小值为
_______． 【答案】2
16．已知函数f?x???x3?8x?4ex?4f2ex，其中e是自然对数的底数，若?a?1??f?2a??0，
则实数a的取值范围是____________． 【答案】???,?1??1?,???
?2??
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列?an?中，2a2?a3?a5?20，且前10项和S10?100．
（1）求数列?an?的通项公式；
（2）若bn?1a，求数列?bn?的前n项和．
nan?1【答案】（1）ann?2n?1；（2）Tn?．
2n?1【解析】（1）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d．
?2a2?a3?a5?4a1?8d?20由已知得??10，解得?a1?1，
10a??9d?10a???11?45d?1002?d?2所以数列?an?的通项公式为an?1?2?n?1??2n?1．
（2）bn?1??1?1?1?，
2n?1??2n?1?2??2n?12n?1??所以T1?n?1?1?1?11???1???1?1?n．
2?3352n?1n?1??2?1??2n?1??2?2n?118．（12分）政府为了对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房
的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取110人进行统计，得到如下列联表：
买房 不买房 纠结 城市人 5 15 农村人 20 10 已知样本中城市人数与农村人数之比是3:8；
（1）分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；
（2）用独立性检验的思想方法说明在这三种买房的心理预期中哪一种与城乡有关？ 参考公式：K2?n?ad?bc?2?
a?b??c?d??a?c??b?d?，P?K2?k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）分别是10，50人；（2）见解析．
【解析】（1）设城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是x，y人，
?20?x则??3?30?y8，解得?x?10?，
???20?x???30?y??110?y?50即城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是10，50人． （2）设三种心理障碍都与性别无关，由1得到如下的列联表：
买房 不买房 纠结 总计 城市人 5 10 15 30 农村人 20 10 50 80 总计 25 20 65 110 对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量K221，K22，K3．
110??5?60?25?20?2由表中数据可得K21??0.863?2.706，
30?80?25?852K2110??10?70?20?10?2??6.366?5.024，
30?80?20?902K23?110??15?30?15?50??1.410?2.706．
30?80?65?45所有没有充分的证明显示买房与城乡有关，有97.5%的把握认为不买房与城乡有关，没有充分的证明显示纠结与城乡有关． 19．（12分）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，D、E分别为AB、BC的中
点，F为CC1的三等分点，靠近点C1． （1）求证DE∥面A1B1C1；
（2）求VA?DEF．
1
【答案】（1）见解析；（2）3．
12【解析】（1）由题可知，D，E分别为AB，BC的中点，?DE∥AC， 又多面体ABC?A1B1C1为正三棱柱，?平面ABC∥平面A1B1C1，AC∥A1C1，
又
DE?平面A1B1C1，?DE∥平面A1B1C1．
（2）V?V1AC?DEF?1V2C?DEF?VCF1?DEF12F?CDE?1?1?S23△CDE?
?1?1?1?1?sin120?2?36212．
x2220．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：?y?0a2b2?1?a?b?的短轴长为22，离心率6．
3（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若?AMN?60?，求点M的坐标．
2【答案】（1）椭圆C?y2:x?1．
62；（2）?M?6??,0??3??【解析】（1）因为椭圆C的短轴长为22，离心率为6，
3?2b?22??a?622所以?c6??解得???b?2，所以椭圆C的方程为
x?y?1?a3?62．
?a2?b2?c2???c?2（2）因为A为椭圆C的上顶点，所以A?0,2?．
设M?m,0??m?0?，则kAM??2M?ANm．又A，所以kAN?m，
2所以直线AN的方程为y?mx?2．
2
??y?mx?2由??2消去y整理得?2?3m2?x2?12mx?0，所以x?12mN?
?x2y23m2，?2???1?622所以
?AN???m???12?m212m???xN?xA??，
???2???23m2?2在直角△AMN中，由?AMN?60?，得
AN?3AM，
所以2?m2??12m?3?2?m2，解得m?66?,0．
23m2?23，所以点M的坐标为????3??21．（12分）已知函数f?x??alnx?1x2?2?a?1?x?1，
（1）当a??1时，求函数f?x?的单调增区间；
（2）若函数f?x?在?0,???上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a?0，且对任意x1，x2??0,???，x1?x2，都有
f?x1??f?x2??2x1?x2，求实数a的最
小值．
【答案】（1）?1,???；（2）?0,???；（3）3?22． 【解析】（1）当a??1时，f?x???lnx?1x2?12
则
f??x???1?xx，令
f??x??0，
12得??x?0x，即
x?1?0，因为函数的定义域为?xx?0x?，所以解得x?1．
所以函数f?x?的单调增区间为?1,???．
（2）由函数f?x??alnx?1x2?2?a?1?x?1，
因为函数f?x?在?0,???上是增函数， 2所以
f'?x??a?x?a?1?x??a?1?x?a??x?1??x?a??0xxx，
对x??0,???恒成立．即x?a?0对x??0,???恒成立．
所以a?0，即实数a的取值范围是?0,???．
（3）因为a?0，由（2）知函数f?x?在?0,???上是增函数．
因为x1，x2??0,???，x1?x2，不妨设x1?x2，
所以f?x1??f?x2?，由
f?x1??f?x2??2x1?x2恒成立，
可得f?x1??f?x2??2?x1?x2?，即f?x1??2x1?f?x2??2x2恒成立，
令g?x??f?x??2x?alnx?1x2??12?a?x?1?2x，
则g?x?在?0,???上应是增函数． 2所以g??x??a?x?x?a?1??2?x??a?1?x?a?0x?x对?0,???恒成立．
即x2??a?1?x?a?0对x??0,???恒成立，
2即a??x?x对x?0,??x?1??恒成立．
x2因为??x???2??x?1??3??3?22，
x?1?x?1?(当且仅当x?1?2即x?2?1时取等号)，
x?1所以a?3?22，所以实数a的最小值为3?22．
选考题：请同学们在第22和23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线的参数方程是??x?tl?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
??y?3t极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
?2cos2???2sin2??2?sin??3?0．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求
AB． 【答案】（1）直线l极坐标：??πR?；
（2）AB?153???．
【解析】（1）消去参数得直线l的直角坐标方程：y?3x，
由?x??cos??代入得y??sin??sin??3?cos????π??R?π4π??0?3??也可以是：?3或??3??．
??2cos2??2sin2??2?sin??3?0（2）???得?2?3??3?0，
???π?3设A???1,π?B????，3???2,π，则
AB??3???1??2???1??22??4?1?2?15．
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f?x??x?x?3．
（1）解不等式f?x?2??x?0；
（2）若关于x的不等式f?x??a2?2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．
【答案】（1）?x?3?x?1或x?3?；（2）a??1或a?3．
【解析】（1）不等式f?x?2??x?0可化为
x?2?x?x?1，
当x??1时，??x?2??x???x?1?，解得x??3，即?3?x??1；
当?1?x?2时，??x?2??x?x?1，解得x?1，即?1?x?1；
当x?2时，x?2?x?x?1，解得x?3，即x?3，
综上所述，不等式f?x?2??x?0的解集为?x?3?x?1或x?3?．
（2）由不等式f?x??a2?2a可得
x?x?3?a2?2a，
x?x?3?x??x?3??3，a2?2a?3，即a2?2a?3?0，
解得a??1或a?3，
故实数a的取值范围是a??1或a?3．