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工程数学作业（一）答案
第2章 矩阵
（一）单项选择题（每小题2分，共20分）
a1a2a3a1a2a3 ⒈设b1b2b3?2，则2a1?3b12a2?3b22a3?3b3?（D ）．
c1c2c3c1c2c3 A. 4 B. －4 C. 6 D. －6
0001 ⒉若
00a00200?1，则a?（A ）． 100a A. 12 B. －1 C. ?12 D. 1
⒊乘积矩阵?1?1????103?4中元素c?2????521??23?（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）． A. A?B?1?A?1?B?1 B. (AB)?1?BA?1
C. (A?B)?1?A?1?B?1 D. (AB)?1?A?1B?1
⒌设A,B均为n阶方阵，k?0且k?1，则下列等式正确的是（D ）． A. A?B?A?B B. AB?nAB
C. kA?kA D. ?kA?(?k)nA ⒍下列结论正确的是（ A）．
A. 若A是正交矩阵，则A?1也是正交矩阵
B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB?0 ⒎矩阵??13?25的伴随矩阵为（ C）． ???
2
?1?3? B. ???25??5?3? C. ?? D.
?21?? A. ???13??2?5? ????53??2?1? ?? ⒏方阵A可逆的充分必要条件是（B ）．
A.A?0 B.A?0 C. A*?0 D. A*?0 ⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB?)?1?（D ）． A. (B?)?1A?1C?1 B. B?CA C. A?1C?1(B?1)? D. (B?1)?C?1A?1
⒑设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. (A?B)2?A2?2AB?B2 B. (A?B)B?BA?B2 C. (2ABC)?1?2C?1B?1A?1 D. (2ABC)??2C?B?A? （二）填空题（每小题2分，共20分）
?1?12?10 ⒈1?40? 7 ．
00?1?1 ⒉1111?1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． 1?15 ⒊若A为3?4矩阵，B为2?5矩阵，切乘积AC?B?有意义，则C为 5×4 矩阵．
?11??15?
? ⒋二阶矩阵A????01?． 01?????12???120??? ⒌设A?40,B??，则(A?B?)??????3?14????34??⒍设A,B均为3阶矩阵，且A?B??3，则?2AB?06?3??5?18? ??? 72 ．
?12 ⒎设A,B均为3阶矩阵，且A??1,B??3，则?3(A?B)? －3 ．
?1a?为正交矩阵，则a? 0 ． ??01??2?12??? ⒐矩阵402的秩为 2 ． ????0?33?? ⒏若A???A1 ⒑设A1,A2是两个可逆矩阵，则??O（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A??O?A2???1?A1?1???OO?． ?1?A2??12???11??54?，求⑴A?B；⑵A?C；⑶2A?3C；⑷A?5B；⑸AB；,B??,C???????35??43??3?1?⑹(AB)?C．
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答案：A?B???03?6??18?? A?C???6?04?? 2A?3C???1716??37?? A?5B???2622?7??120?? AB???7?2312?? (AB)?C???5621??15180??
⒉设A???121???103???114???0?12??,B???21?1??,C???3?21，求AC?BC． ???002??解：AC?BC?(A?B)C???024????114???201???3?21??6?410? ????002????2210???310??102? ⒊已知A????121???,B????111??，求满足方程3A?2X?B中的X．?342????211??解：?3A?2X?B
?3??42?1?? ? X?12(3A?B)?1?83?2?2??252??51??????1? ?7115???2?7115????222?? ⒋写出4阶行列式
1020?143602?53 3110中元素a41,a42的代数余子式，并求其值．
020120答案：a41?(?1)4?1436?0 a42?(?1)4?2?136?45
2?530?53 ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
??234?? ⑴ ?122??12312??1000??21?2??； ⑵ ???1100???2?21???111?1??； ⑶
?10??． ?10?2?6???11?1111??解：（1）
4
?122100?22100?2?r20?2?120???A|I????21?2010??2r?r?1?6?210?3?r1?1?3?6?32310??????2r121???r3???0?3????2r2???r3???0??2?21001????0?6?3?201????0092?21??????1222??13r20???199??1?10?2?33??2r3?r1?1009??9?r3??12??0122?1?01330????2r3???r2?10209?9??2?9?21??0???0019299????9?21??99????122??99?A?1??219???99?2? ?219????9?299????22?6?2617??1000?（2）A?1???17520?13???110??????102?1?(过程略) (3) A?1??0?0?110? ?4?1?53????00?11????1011011? ⒍求矩阵?1101100???1012101??的秩． ?2113201????1011011??011011??011011??1101100????r?r1?r2?121?r?r301?101?1?1???1?r?r01?101?1?1???1012101???1???r4???00011?10???2?4???00011?10?解：
?2113201????01?112?2?1????00011?10?????1011011?01?101?1?1????r3??r4?????00011?10??0000000??R(A)?3
（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A，试证A?A?是对称矩阵． 证明：(A?A')'?A'?(A')'?A'?A?A?A'
? A?A?是对称矩阵
⒏若A是n阶方阵，且AA??I，试证A?1或?1． 证明：? A是n阶方阵，且AA??I
? AA??AA??A2?I?1 ?
A?1或A??1
⒐若A是正交矩阵，试证A?也是正交矩阵． 证明：? A是正交矩阵
? A?1?A?
? (A?)?1?(A?1)?1?A?(A?)?
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