即A?是正交矩阵
工程数学作业（第二次）
第3章 线性方程组
（一）单项选择题(每小题2分，共16分)
? ⒈用消元法得?x1?2x2?4x3?1?x1??x??2?x3?0的解?为（C ）．
??x?x2?3?2??x3?? A. [1,0,?2]? B. [?7,2,?2]?
C. [?11,2,?2]? D. [?11,?2,?2]?
?x1?2x2?3x3?2 ⒉线性方程组??x1?x3?6（B ）．
???3x2?3x3?4 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解
?1??0??0?? ⒊向量组??0???,??1??,??0?,?1?2??,?3?0?的秩为（ A）． ???????0????0???1????1????4?? A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
??1??0??1??1? ⒋设向量组为?1??0??0??1? 1????,?2???,?3???,?4???，则（?0??0??1??1??1?B ）是极大无关组．
???1????0????1?? A. ?1,?2 B. ?1,?2,?3 C. ?1,?2,?4 D. ?1
⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）． A. 秩(A)?秩(A) B. 秩(A)?秩(A) C. 秩(A)?秩(A) D. 秩(A)?秩(A)?1
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⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组?1,?2,?,?s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量
9．设A，Ｂ为n阶矩阵，?既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于?的特征向量，则结论（ ）成立．
Ａ．?是AB的特征值 Ｂ．?是A+B的特征值
Ｃ．?是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于?的特征向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．AB?BA Ｂ．(AB)??AB Ｃ．PAP?1?B Ｄ．PAP??B （二）填空题(每小题2分，共16分)
?x1?x2?0 ⒈当?? １ 时，齐次线性方程组?有非零解．
?x?x?02?1 ⒉向量组?1??0,0,0?,?2??1,1,1?线性 相关 ．
⒊向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是 ３ ． ⒋设齐次线性方程组?1x1??2x2??3x3?0的系数行列式?1?2解，且系数列向量?1,?2,?3是线性 相关 的．
⒌向量组?1?1,0,?2?0,1,?3?0,0的极大线性无关组是?1,?2． ⒍向量组?1,?2,?,?s的秩与矩阵个．
⒏设线性方程组AX?b有解，X0是它的一个特解，且AX?0的基础解系为X1,X2，则AX?b的通解为X0?k1X1?k2X2．
9．若?是Ａ的特征值，则?是方程?I?A?0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A?1?A? ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组
?????????3?0，则这个方程组有 无穷多
????????1,?2,?,?s?的秩 相同 ．
⒎设线性方程组AX?0中有5个未知量，且秩(A)?3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ ?x1?3x2?2x3?x4?3x?8x?x?5x?1234???2x1?x2?4x3?x4???x1?4x2?x3?3x4解：
?6?0 ??12?2 7
??1?3?2?16??3r?r?1?3?2?16?301923?48?A??3?8150?2r12178?18?178?18????21?41?12??r3???r?1?r4????01?0?5?8?10?5rr?r1?122?r?????r31??r4??0?002739?90????14?1?32????01?3?48????00?10?1226??3r?101923?48??1923?48??19r??14?r3?10?2r?4??0178?18?78?18??7r3?r1?3?r2?10042?124?01015?46?????13r3?01?003?312?????1?14?????5r3???r4???001?14???0056?13????00?0056?13????00011?33???10042?124?002?1??42r?r?10?11??r4??01015?46??r15r414?r2?4?r0100?1??x1?2??001?14?????3????00101?? ?方程组解为???x2??1
?0001?3????0001?3??x3?1???x4??3２．设有线性方程组
???11??x??1??1?1??y?????11????????? ?z??????2???? 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
??111??A???1?1??11??2?2?r?r?r?1??r3???1?1???????1r211???1???r3??0??11?????2?????解：
?11????????2??111??01??1??21??3???2］
?r?2??r3??11????0??11???(1??)????00(2??)(1??)(1??)(1??)2??? 当??1且???2时，R(A)?R(A)?3，方程组有唯一解
当??1时，R(A)?R(A)?1，方程组有无穷多解
３．判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中
???8???2????3???5?????3??7?5???6??7???1??,?1???,?2????,?3??? ??10????3???0???2????3??1?? 解：向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，当且仅当方程组?1x1??2x2??3x3??有解
???23?5?8??1037?这里 A???1?341?1,?2,?3,????7?5?6?3???????????????0??1037??0010?117? ?3?21?10????000571??R(A)?R(A)
? 方程组无解
? ?不能由向量?1,?2,?3线性表出
４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关
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??1????3???1??1??1?7??????2??,?????3????9??1?2?3?????8??9?,?3??0?,?4??6?
????3????3????4????13?????3????6????13?11??13?11???1?7?39??0112??解：??1,?2,?3,?4?????2806?????????????00018??39?33?000? ????0??413?36????0000???该向量组线性相关
５．求齐次线性方程组
??x1?3x2?x3?2x4?0???5x1?x2?2x3?3x4?0 ??x1?11x2?2x3?5x4?0??3x1?5x2?4x4?0的一个基础解系． 解：
??1?31?2?5r?r?1?31?2??3r52??1?A???51?23?r121?r3??7?r?110??????3r1???r4??0?143??14?r?14r2?r32?r?27???1?112?5??0?143?7????4????0?143?00???3504????014?310?00???0003???05051?05?1?114?1????1?1?r3?r1?12140???r?14r2?3??r4??12?114?12??12?01?32??3??r3??01?32???r3???r2???01?30?? ?000143?1?00141?????00014????0??0000????0000???0000????x51??x3?5??14??14?? 方程组的一般解为??x3?3?2?x3 令x3?1，得基础解系 ???? ?14?14?0??x4?0?????1?? ６．求下列线性方程组的全部解．
??x1?5x2?2x3?3x4?11???3x1?x2?4x3?2x4??5??x1?9x2?4x
4?17??5x1?3x2?6x3?x4??1解：
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??1?52?311?3r?r?1?52?311??5r92A???31?42?5?12?728??r?1??r1?r3????5r1??r40?142??14r?102?r7?11???2?r32??r4????0?142?2728???1?90?417?????728??0000???536?1?1????0?142?028?414?56???0?00000????10917?1???x??71??1??14?r2???01?112?2????19x3?2x4?1?0007200? ?方程组一般解为?????x11
2???00000??7x3?2x4?2?令x3?k1，x4?k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解
???7k?1k?1??7??1??x1??12????x?2?192??9??2??1?1???x??7k???11???2?1?k2?2??k1???k2??????
3??x??k2??7??2??0?4??1??1??0????k2????0????1???0?７．试证：任一４维向量???a?1,a2,a3,a4?都可由向量组
??1??1??1??1??0??1??1??1??1????0?，?2????，?3???，?4????1?
?0???0??0????1??0????1??线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．
??1?????0??0??0?01??0??证明：?0?1??? ?2??1??? ?3??2??? ?4??3??0??0????0??0??????1??0?
?0????1??任一４维向量可唯一表示为
??a1????1??0??0??0????a???a0??1??0??0?21???a2???a?a3???a4???a1?1?a2(?2??1)?a3(?3??2)?a4(?4??3)
3??0???a??4??0???0??1??0??0????0????1???(a1?a2)?1?(a2?a3)?2?(a3?a4)?3?a4?4
⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设AX?B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)?R(A)?n
从而AX?B有唯一解当且仅当R(A)?n
而相应齐次线性方程组AX?0只有零解的充分必要条件是R(A)?n
? AX?B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX?0只有零解
9．设?是可逆矩阵Ａ的特征值，且??0，试证：1?是矩阵A?1的特征值．
证明：??是可逆矩阵Ａ的特征值
? 存在向量?，使A????
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