?
I??(A?1A)??A?1(A?)?A?1(??)??A?1???
?A?1??1??
即1是矩阵A?1?的特征值 10．用配方法将二次型f?x22221?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4化为标准型．
解：
f?(x2?x22?2x2x21?x2)3?x4?2x2x42x3?2x3x4?(x1?x2)2?x3?23(?x2?x4)?x4?2x2x4 ?(x?x212)2?(x3?x2?x24)?x2 ? 令y1?x1?x2，y2?x3?x2?x4，y3?x2，x4?y4
??x1?y1?y3即??x2?y3?x3?y
2?y3?y4??x4?y4则将二次型化为标准型 f?y2?y2212?y3
工程数学作业（第三次）
第4章 随机事件与概率
（一）单项选择题
⒈A,B为两个事件，则（ B）成立．
A. (A?B)?B?A B. (A?B)?B?A C. (A?B)?B?A D. (A?B)?B?A ⒉如果（ C）成立，则事件A与B互为对立事件． A. AB?? B. AB?U
C. AB??且AB?U D. A与B互为对立事件
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D A. C3?0.722210?0.3 B. 03. C. 0.7?0.3 D. 3?0.7?0.3 4. 对于事件A,B，命题（C ）是正确的．
A. 如果A,B互不相容，则A,B互不相容 B. 如果A?B，则A?B
C. 如果A,B对立，则A,B对立
D. 如果A,B相容，则A,B相容
⒌某随机试验的成功率为p(0?p?1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.(1?p)3 B. 1?p3 C. 3(1?p) D. (1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p)
6.设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?4.8,D(X)?0.96，则参数n与p分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2
7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的a,b(a?b)，E(X)?（A ）． A. ?????xf(x)dx B.
?baxf(x)dx C.
?baf(x)dx D.
?????f(x)dx
8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．
11
）．
?3?????sinx,??x??sinx,0?x? A. f(x)??22 B. f(x)??2
??其它其它?0,?0,3???sinx,0?x??sinx,0?x?? C. f(x)?? 2 D. f(x)??0,其它??其它?0,9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(a?X?b)?（ D）．
A. F(a)?F(b) B. ?baF(x)dx C. f(a)?f(b) D.
?baf(x)dx
10.设X为随机变量，E(X)??,D(X)??2，当（C ）时，有E(Y)?0,D(Y)?1． A. Y??X?? B. Y??X?? C. Y?X??? D. Y?X???2
（二）填空题
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为
25． 2.已知P(A)?0.3,P(B)?05.，则当事件A,B互不相容时，P(A?B)? 0.8 ，P(AB)? 0.3 ．
3.A,B为两个事件，且B?A，则P(A?B)?P?A?．
4. 已知P(AB)?P(AB),P(A)?p，则P(B)?1?P．
5. 若事件A,B相互独立，且P(A)?p,P(B)?q，则P(A?B)?p?q?pq．
6. 已知P(A)?0.3,P(B)?05.，则当事件A,B相互独立时，P(A?B)? 0.65 ，P(AB)? 0.3 ．
?0x?07.设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x)???x0?x?1．
??1x?18.若X~B(20,0.3)，则E(X)? 6 ．
9.若X~N(?,?2)，则P(X???3?)?2?(3)．
10.E[(X?E(X))(Y?E(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的 协方差 ． （三）解答题
1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件： ⑴ A,B,C中至少有一个发生； ⑵ A,B,C中只有一个发生； ⑶ A,B,C中至多有一个发生； ⑷ A,B,C中至少有两个发生； ⑸ A,B,C中不多于两个发生； ⑹ A,B,C中只有C发生．
解:(1)A?B?C (2)ABC?ABC?ABC (3) ABC?ABC?ABC?ABC (4)AB?AC?BC (5)A?B?C (6)ABC
2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；
⑵ 2球中至少有1红球．
12
解:设A=“2球恰好同色”，B=“2球中至少有1红球”
22112C3?C2C3C2?C33?126?39 P(A)???P(B)??? 221051010C5C53. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果
第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解：设Ai?“第i道工序出正品”（i=1,2）
P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?(1?0.02)(1?0.03)?0.9506
4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率． 解：设A1?\产品由甲厂生产\ A2?\产品由乙厂生产\ A3?\产品由丙厂生产\ B?\产品合格\
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?0.5?0.9?0.3?0.85?0.2?0.80?0.865
5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p，求所需设计次数X的概率分布． 解：P(X?1)?P
P(X?2)?(1?P)P
P(X?3)?(1?P)2P ????
P(X?k)?(1?P)k?1P ????
故X的概率分布是
23??k????1?p(1?p)p(1?p)2p??(1?p)k?1p??? ??6.设随机变量X的概率分布为
123456??0 ?01?.0.20.3012.01.0.03??.015试求P(X?4),P(2?X?5),P(X?3)．
解：
P(X?4)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?0.1?0.15?0.2?0.3?0.12?0.87 P(2?X?5)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.2?0.3?0.12?0.1?0.72 P(X?3)?1?P(X?3)?1?0.3?0.7 7.设随机变量X具有概率密度
?2x,0?x?1 f(x)??其它?0,试求P(X?11),P(?X?2)． 241解：P(X?)?2?12??f(x)dx??1202xdx?122x0?1141 41P(?X?2)?48. 设X~f(x)??解：E(X)??214f(x)dx??212xdx?x41?15 16?2x,0?x?1?0,其它，求E(X),D(X)．
?????xf(x)dx?x?2xdx?0?123x310?2 313
2411x0?
??042121D(X)?E(X2)?[E(x)]2??()2?
2318.)；⑵P(X?0)． 9. 设X~N(1,0.62)，计算⑴P(0.2?X?18E(X)?2???xf(x)dx?2?1x2?2xdx?解：
P(0.2?X?1.8)?P(?1.33?P(X?0)?P(X?1?1.33)??(1.33)??(?1.33)?2?(1.33)?1?2?0.9082?1?0.8164 0.2X?1?1.67)?1??(1.67)?1?0.9525?0.0475 0.621n10.设X1,X2,?,Xn是独立同分布的随机变量，已知E(X1)??,D(X1)??，设X??Xi，求
ni?1E(X),D(X)．
1解：E(X)?E(n ??X)?nE(Xii?1n111?X2????Xn)?[E(X1)?E(X2)????E(Xn)]
n1n??? nn111D(X)?D(?Xi)?2D(X1?X2????Xn)?2[D(X1)?D(X2)????D(Xn)]
ni?1nn11 ?2?n?2??2
nn
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工程数学作业（第四次）
第6章 统计推断
（一）单项选择题
22 ⒈设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?)（?,?均未知）的样本，则（A）是统计量．
x12 A. x1 B. x1?? C. 2 D. ?x1
?22 ⒉设x1,x2,x3是来自正态总体N(?,?)（?,?均未知）的样本，则统计量（D）不是?的无偏估计．
1 A. max{x1,x2,x3} B. (x1?x2)
2 C. 2x1?x2 D. x1?x2?x3
（二）填空题
1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．
2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．
3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
2 4．设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?)（?已知）的样本值，按给定的显著性水平?检验
2
?/n 5．假设检验中的显著性水平?为事件|x??0|?u（u为临界值）发生的概率．
（三）解答题
1．设对总体X得到一个容量为10的样本值
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H0:???0;H1:???0，需选取统计量U?x??0．