当a＞0时，f(x)在x?1?当a≤0时，f(x)无极值.
22a2)?(1?ln). 处取得极小值，极小值为f(1?aa2a（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以f(x)? 当n为偶数时， 令g(x)?x?1?1?ln(x?1).
(1?x)n1?ln(x?1), n(1?x)则 g?(x)?1?n1x?2n????0,(x?2). n?1n?1x?1x?1(x?1)(x?1)所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，
又 g(2)=0 因此g(x)?x?1?1?ln(x?1)≥g(2)=0恒成立，
(x?1)n 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时，
要证f(x)≤x-1,由于
1＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1, n(1?x) 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h?(x)?1?1x?2≥0（x≥2）, ?x?1x?1 所以 当x∈[2，+∞]时，h(x)?x?1?ln(x?1)单调递增，又h(2)=1＞0， 所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1时，f(x)?1?ln(x?1).
(1?x)n1≤1， n(1?x)
当x≥2，时，对任意的正整数n，恒有故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.
令h(x)?x?1?(1?ln(x?1))?x?2?ln(x?1),x??2,??? 则h?(x)?1?1x?2?, x?1x?1当x≥2时，h?(x)≥0，故h(x)在?2,???上单调递增，
因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故 当x≥2时，有即f（x）≤x-1.
21?ln(x?1)≤x-1. n(1?x)3. 解: (1)由已知得f'(x)?ax?2bx?1,令f'(x)?0,得ax2?2bx?1?0,
f(x)要取得极值,方程ax2?2bx?1?0必须有解,
所以△?4b2?4a?0,即b2?a, 此时方程ax2?2bx?1?0的根为
?2b?4b2?4a?b?b2?a?2b?4b2?4a?b?b2?ax1???,x2?,
2aa2aa所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2)
当a?0时,
x f’(x) f (x) (-∞,x1) ＋ 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) ＋ 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当a?0时,
x f’(x) f (x) (-∞,x2) － 减函数 x 2 0 极小值 (x2,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) － 减函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b2?a时, f(x)取得极值.
(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax?2bx?1?0在(0,1]上恒成立.
2ax1ax1?,x?(0,1]恒成立, 所以b?(??)max 22x22x1a(x2?)a1ax1a, 设g(x)???,g'(x)???2?222x22x2x即b??令g'(x)?0得x?11或x??(舍去),
aa当a?1时,0?11ax1)时g'(x)?0,g(x)???单调增函数; ?1,当x?(0,a22xa当x?(1ax1,1]时g'(x)?0,g(x)???单调减函数,
22xa11时,g(x)取得最大,最大值为g()??a. aa所以当x?所以b??a 当0?a?1时,
1ax1在区间?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)???22xaa?1a?1,所以b?? 22a?1综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时, b??
2(0,1]上单调递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??4.D
5. 解：（Ⅰ） 当a??1时，f(x)?lnx?x?2?1,x?(0,??), x
x2?x?2,x?(0??, )所以 f'(x)?2x因此，f（2） ?1，1，. 即 曲线y?f(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为又 f(2)?ln2?2, 所以曲线
y?f(x)在点（2，f(2))处的切线方程为y?(ln2?2)?x?2,
即x?y?ln2?0. （Ⅱ）因为 f(x)?lnx?ax?1?a?1， x
ax2?x?1?a1a?1所以 f'(x)??a?2?? x?(0,??)，
xx2x
令 g(x)?ax?x?1?a,x?(0,??),
（1）当a?0时,h(x)??x?1,x?(0,??)
所以，当x?(0,1)时,h(x)?0,此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 当x?(1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0,函数f(x)单调递
2 （2）当a?0时,由f?(x)=0
即ax2?x?1?a?0，解得x1?1,x2?①当a?1?1 a1时，x1?x2,h(x)?0恒成立， 2此时f?(x)?0，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； ②当0?a?11时,?1?1?0 2ax?(0,1)时，h(x)?0,此时f?(x)?0,函数f(x)单调递减；
x?(1,1?1)时，h(x)?0,此时f?(x)?0,函数f(x)单调递增； a1x?(?1,??)时,h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
a1③当a?0时，由于?1?0
ax?(0,1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； x?(1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增。
综上所述：
当a?0时，函数f(x)在（０，１）上单调递减； 函数f(x)在（１，＋∞）上单调递增；
1时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； 21当0?a?时，函数f(x)在（0，1）上单调递减；
21函数f(x)在(1,?1)上单调递增；
a1函数f(x)在(?1,??)上单调递减，
a当a?
2a3aa6. 2【解析】21=loga，3 x∴g(x)=loga-(b-x)的零点在（2,3）上，∴n=2. 7. （1）设容器的容积为V， 由题意知 V??r2l?4380?， ?r，又V?334V??r38044203 故 l???r?(2?r) 22?r3r33r 由于 l?2r， 因此 0?r?2 所以建造费用 y?2?rl?3?4?r2c?2?r? 因此 y?4?(c?2)r2?420(2?r)?3?4?r2c 3r160?,0?r?2 r160?8?(c?2)320 （2）由（1）得，y'?8?(c?2)r??(r?),0?r?2 r2r2c?2 由于 c?3，所以 c?2?0， 当 r3?20?0时，r?c?2320 c?2令 r?320?m，则 m?0 c?28?(c?2)22(r?m)(r?rm?m) 2r9① 当0?m?2即c?时， 2所以 y'? 当r?m时，y'?0 当r?(0,m)时，y'?0 当r?(m,2)时，y'?0 所以 r?m是函数y的极小值点，也是最小值点. ② 当m?2即3?c?9时 2 当r?(0,2)时，y'?0，函数单调递减， 所以，r?2是函数y的最小值点. 综上所述，当3?c?9时，建造费用最小时r?2 23 当c?9时，建造费用最小时r?220。 c?2