条边相等，直接证四边形为菱形．
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E、F．
(1)求证：DE=DF．
(2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明)
解：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC∵．∠DEB=∠DFC=90° ∵AB=AC，∴∠B=∠C．又DB=DC， △DEB≌△DFC(AAS) ∴DE=DF．
． (2)∠A=90°；四边形AFDE是平行四边形等
(方法很多，如∠B=45°或BC=2AB或DE⊥DF或F为AC中点或DF∥AB等
矩形、菱形的综合应用 例2．（2006年青岛市）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
? ∴AE=
11AB，CF=CD． 22 ∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形． ∵四边形BEDF是菱形， ∴DE=BE． ∵AE=BE， ∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°． ∴∠2+∠3=90°． 即∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．
例3.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ( )
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 答案：C
例4.矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48 cm，则矩形
ABCD的面积为 cm2． 答案：128 会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题 例5．（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°． （1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
例6.如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为
斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，?，依此类推，若正方形①的边长为64 cm，则正方形⑦的边长为 cm． 答案：8
第三节 梯形
【回顾与思考】
知识点：梯形、等腰梯形、直角梯形、等腰梯形的性质和判定、四边形的分类 大纲要求：
1．掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，等腰梯形的性质和判定； 2．四边形的分类和从属关系。 考查重点与常见梯形
1．考查梯形的判定、性质及从属关系，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证明题的形式出现。如： （A） 圆内接平行四边形是矩形； （B） 一组对边平行另一组对边不平行的四边形一定是梯形； （C） 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是菱形； （D） 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。
2．求梯形的面积、线段的长，线段的比及面积的比等，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证明题的形式出现。 如：如图梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S⊿AOD：S⊿COB＝1：9，则S⊿DOC：S⊿BOC＝
3．梯形与代数中的方程、函数综合在一起， 如在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝103 ，AD、BC 的长是x2-20x+75=0方程的两根，那么以点D为圆心、AD长为半径的圆与以C圆心，BC为半径的圆的位置关系
是 。 【例题经典】 与梯形有关的计算 例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的长． 【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件． 例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC
将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18 cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c)
9cm (D)18 cm 答案：C 2等腰梯形的判定 例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，?对角线AC⊥BD于F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm． （1）求证：四边形ABFE为等腰梯形；
（2）求AE的长．
【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE为梯形，再说明AE=BF，?作DG⊥AB于G，利用
1 CD=AB解决AE=BF．（2）问要利用Rt△BCF∽Rt△ABF，求出AF长，再用BF2=CF·AF，即可求出BF长，进而得到AE长．
例3．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，且∠CDF＝60°，CF＝3 cm。(1)求证四边形BCFE是等腰梯形；(2)求这个梯形的中位线长。 梯形性质的综合应用 例4．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．
【解析】△ADE是等边三角形．
理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形， ∵∠B=∠C．
∴E为BC的中点， ∵BE=CE．
在△ABE和△DCE中，
2
?AB?DC,? ∵??B??C,
?BE?CE? ∴△ABE≌△DCE． ∵AE=DE．
∴AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形． ∴AB=DE ∵AB=AD， ∴AD=AE=DE．
∴△ADE为等边三角形．
第24课 中位线与面积
〖知识点〗
平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折） 〖考查要求〗
1．掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；
2．使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；
3．使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。 〖考查重点与常见题型〗
1．考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如：
一个等腰梯形的周长是100cm，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是
2．考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如： 三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米2
3．考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现