故当n＝3时，sn=--521(n?1)?3.5 取最小值?125
1而函数y?1x?3.5在x＜3.5时，y＜0， y'??8(x?3.5)2 ?0，在（??，3.5）上也为减函数．
故当n＝2时，取最大值：s2＝． a的最大值与b的最小值分别为?3,2
532、解：∵数列{an}为等差数列，∴S1?a1,S2?2a1?d,S4?4a1?6d， ∵S1，S2，S4成等比数列， ∴ S1·S4 =S22 ∴ a1(4a1?6d)?(2a1?d)2，∴2a1d?d2 ∵公差d不等于0，∴d?2a（1）1q?S2S1?4a1a1?4
（2）∵S2 =4，∴2a1?d?4，又d?2a1，
∴a1?1,d?2， ∴an?2n?1。 （3）∵bn??323(2n?1)(2n?1)12n?1)?32?322n?1m20(1?12n?1)∴Tn?32[(1?13)?(13m?15)?…?(12n?1?12n?1)](1? 要使Tn?对所有n∈N*恒成立，∴
20?32，m?30，∵m∈N*，
∴m的最小值为30。 33、
n＋1n＋11?11?
②证明：由①知Sn＝n2，当n∈N*时，＝2＝?－?，
SnSn＋2nn＋2?24?n2n＋2?2?23n＋11?11?1?11?1?11?
???＋＋…＋＝?－＋－＋…＋?－?
S1S3S2S4SnSn＋24?1232?4?2242?4?n2n＋2?2?＝
1111111111?1111?
＋＋…＋－＋＋…＋＋＝?＋－－?， 41222n243242n＋1?2n＋2?24?1222n＋1?2n＋2?2?
1123n＋11?11?5
∵＋>0， ∴＋＋…＋
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??a1?2d?5 ???a1?4d?2?a1?d??3?3bn?bn?1?0? 即??a1?2d?5??a1?2d?3?,解得?n?a1?1?d?21 ?an?1?1?n???2?2n1n????N?
bn?1bn?3,?n?N???数列?b?是以b?3为首项,公比为3的等比数列.
?bn?3?3n?1?3n?n?N?.
n?1?2n?1?2?n?34n?1(2)由(1)可得Sn??cn?n23?3?3?n, Tn??1?32n1n?13?3? . ?2?cn?1?32n?1?3?3?3n.
?Mn?c?c?c???123nn?1 ?cnMn?1?3?2?3?3?3?????n?1??3?n?33Mn?1?3??234???1?
n?3??3?3????n?5234??1n??3n??n?31??3?22?
2n?1 ?1???2?得: ?2Mn?3?3?3????3?Mn?9n?1n2? ?3?3?31?3?n?3n?2
(3)Mn?1??2n?1??3n?1??n?N??. ?4?99nn?1????2n?1??3n?1??9?n?1??3?02n?1?3?1?Mn?????4??4?? 即logm3434?1
Mn?1?Mn,?n?N??当n?1时, ?M取最小值,M1?9, ?9?9logmn34?1 ?logmm34
当m?1时，logm?0?m?34.
34?1恒成立；当0?m?1时，由logm，得m? ，
?实数m的取值范围是?m0?m??3?22d?3a1?3d?3?或m?1?. 4?
35、（1）?a3?a1?2d，S3?3a1? ???a1?2d?11?3a1?3d?24an(n?6)an?1?54n
??2?a1?5?d?3 ?an?5?(n?1)?3?n3 ? 2
4n2034n203323（2）bn??3n?20n?123n?n???2n?323??
323 当且仅当n?，即n?2时，bn取得最小值. ∴数列{bn}中的最小的项为
.
36、（Ⅰ）根据题设可得: 集合A中所有的元素可以组成以?3为首项,?2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列.
由此可得,对任意的n?N?,有A?B?B A?B中的最大数为?3,即a1??3 设等差数列?an?的公差为d,则an??3?(n?1)d,S10?10(a1?a10)2?45d?30。因为?750?S10??300,
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??750?45d?30??300,即?16?d??6。由于B中所有的元素可以组成以?3为首项,?6为
公差的递减等差数列。所以d??6m(m?Z,m?0),由?16??6m??6?m?2，所以d??12 所以数列?an?的通项公式为an?9?12n（n?N?）
22（Ⅱ）bn?()an?13n?91n[1?()]2n122?() Tn?24(b2?b4?b6???bn)?24??24(1?) 2n1221?248n?24(2?2n?1)2(2n?1)nn1Tn?48n2n?1?24?242n?2n?1 于是确定Tn与
48n2n?1的大小关系等价于比较
n由2?2?1?1，22?2?2?1，23?2?3?1，24?2?4?1，???可猜想当n?32与2n?1的大小。
时，2n?2n?1 证明如下：
证法1：（1）当n?3时，由上验算可知成立. （2）假设n?k时，2k?2k?1，则
2k?1?2?2?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1
k所以当n?k?1时猜想也成立
根据（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2n?2n?1
?当n?1,2时，Tn?48n2n?1，当n?3时Tn?48n2n?1
1n?1n01n?1n?????Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1 证法2：当n?3时2n?(1?1)n?Cn0?Cn?当n?1,2时，Tn?48n2n?1，当n?3时Tn?N)*48n2n?1
n-1n2=2(n37、（1）由题意知，an=2孜， ?bn+1=2log2an=2log22n=2n，
=)12 (nN*\\bn=2n-1(n N*) ?bn+1-bn=(2n+1n-)-(2)，
∴数列?bn?是首项b1?1，公差d?2的等差数列。 （2）由an=2n,bn=2n-1(n N*)知cn=?Sn?12122n-12n(n?N*)，
121?322?523???2n?32n?1?2n?12n ①
?2n?12121Sn?Sn?12112?2222?223233???222n?52n?1??2n?322nn?1 ② 由①-②得
11????n?1?22n2n?1n?1??(2?122???12n?2?12)?n?12n?12n?1
?32?12n?1?2n?12n?1.
?Sn?3?12n?2?2n?12n?3?2n?32n
n（3）由cn=
2n-12n(n?N*)知c-cn=n+12n+12n+1-2n-12=3-2n2n+1(n?N*)，
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∴当n=1时，c2?c1， 当n?2时，cn?1?cn即c2?c3?c4???cn。 ∴当n=2时，cn取最大值是。
444 2即m?2m?3?0得m?1或m??3。 故实数m的取值范围为???,?3???1,???
23cn?12m2?m?34对一切正整数n恒成立?1m2?m?3?338、解：⑴依题意，a2又an?1?9Sn?10?9a1?10?100，故
an?1ana2a1?10， 当n?2时，an?9Sn?1?10? ①
n?1 ② ②―①整理得：
?10，故{an}n?N为等比数列，
an?a1q?10n，
⑵ 由⑴知，?lganTn?(11?3?12?4?n. ?lgan?1?lgan?(n?1)?n?1，即{lgan}是等差数列.
???1n(n?2))
39、解、an??2n?13. 40、
2?n?6??n?12n,Tn??2n???12n?36,n?7.
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41、
②假设当n=k时猜想成立，即a则
3akak?33?3k?3k?5，
ak?1??3k?5?3(k?1)?5?3k?5 ，当n=k+1时猜想也成立。
综合①②，对n?N?猜想都成立。
3an2an?11542、解：（Ⅰ）?an?1?,a? , ?a2?a12a1?1?2?535??1311 , a3?317
a4?323
（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列 ∴猜想数列?an? 通项公式：an?36n?1 用数学归纳法证明如下：
35① 当n?1时，由题意可知a1?，命题成立.------6分
36k?1② 假设当n?k(k?1,k?N)时命题成立， 即ak?3 ，----7分
那么，当n?k?1时，ak?1?ak2ak?1?2?6k?136k?1??136k?5?36(k?1)?1
也就说，当n?k?1时命题也成立。综上所述，数列?an?的通项公式为an?43、（Ⅰ）解：由a1?S1?16(a1?1)(a1?2)，解得
36n?1
a1＝1或a1＝2，
又a1＝S1＞1，因此a1＝2. 又6Sn?1?6Sn?(an?1?an)(an?1?an?3)?0?(an?1?1)(an?1?2)?(an?1)(an?2)?6an?1，
?an?1?an?0或an?1?an?3?0
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去.因此an?1?an的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n?1.
?3?0，从而｛an｝是公差为
3，首项为2
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（Ⅱ）证明：由an(2bn?1???log?1)?1可解得，bn?log2?1???an??3n??36··???23n?1??253n23n?1 从而
Tn?b1?b2???bn?log
3363n?2因此3Tn?1?log2(an?3)?log2???··?·3n?1?3n?2?25 令
3n?2?36f(x)??·?·?·3n?1?3n?2?253,则
，故
f(n?1)f(n)(3n?3)3n?2?3n?3??·???23n?5?3n?2?(3n?5)(3n?2)272033 因(3n?3)2?(3n?5)(3n?2)2?9n?7＞0f(n?1)＞f(n).特别的f(n)?f(1)?＞1。从而3Tn?1?log2(an?3)?log2f(n)＞0，
即3Tn?1＞log2(an?3).
44、解：（1）由点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，
即an?1?an?1，且a1?1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列 an?1?(n?1)?1?n(n?2)，a1?1同样满足，所以an?n （2）f(n)? f(n?1)?1n?11n?2?1n?2?1n?312n?1????1n?412n?212n
12n?1??112n?21???1
?7121n1n?1?0f(n?1)?f(n)??n?12n?22n?2
所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)?（3）bn?1n
(n?2)-------12
，可得Sn?1?12?13???1n，Sn?Sn?1?分
nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1，
(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1
……
S2?S1?S1?1
nSn?S1?S1?S2?S3???Sn?1?n?1 S1?S2?S3???Sn?1?nSn?n?n(Sn?1)，n≥2
g(n)?n
故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立
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