武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷
《计算方法》 （A卷） （36学时用）
学院： 学号： 姓名： 得分：
一、（10分）已知y?f(x)的三个值
xi yi 0 1 2 0.2 -1.8 1.8 （1） 求二次拉格朗日插值 L2(x)； （2）写出余项R2(x)。 二、（10分）给定求积公式
?
1?1f(x)dx?f(?13)?f(13)
求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。
?2a?三、（10分）若矩阵A??0?0?aa00??0?，说明对任意实数a?0，方程组AX?b都a??是非病态的（范数用??）。
四、（12分）已知方程ex?10x?4?0在[0,0.4]内有唯一根。
迭代格式A：xn?1?ln(4?10xn)；迭代格式B：xn?1?试分析这两个迭代格式的收敛性。 五、（12分）设方程组
?a11??a?21a12??x1???a22???x2??b1??????b??，其中a11a22?0， ??2?110(4?exn)
分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、（12分）已知y?f(x)的一组值
xi 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 -2 0 2 3 2.21.0f(xi) -1 4 1
分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ?f(x)dx 七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。
日期 x y5月2日 -1 160 5月3日 0 226 5月4日 1 279 5月5日 2 403 （人数） 根据上面数据，求一条形如y?ax2?bx的最小二乘拟合曲线。 八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：
?y??x?y2x?[0,??y(0)?1（取步长h?0.5） 1]。
九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程x2?c?0的根。（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；
（2）证明对任意初值x0?c, 牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷
1、解：（1）二次拉格朗日插值为
L2(x)?0.2?(x?1)(x?2)?(?1.8)?(x?0)(x?2)?1.8?(x?0)(x?1)?5x?211x?2(0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)?（2）余项为Rf'''(?)2(x)?3!x(x?1)(x?2)
2、解：当f(x)?1时，左边=2,右边=2； 当f(x)?x时，左边=0,右边=0； 当f(x)?x2时，左边=223,右边=3；
当f(x)?x3时，左边=0,右边=0； 当f(x)?x4时，左边=25,右边=29,左边?右边；
于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。 ?1/2a?1/2a0?3、解：A?1???01/a0?????||A1||??1/|a| ?001/a??而||A||??3|a|，于是cond(A)?1??||A||?||A||??3， 所以题干中结论成立。
4、解：（1）对于迭代格式A：xn?1?ln(4?10xn)，
其迭代函数为?(x)?ln(4?10x)??104?10x??52?5x，在[0,
|?(x)|?52?5x?1，
所以发散。
（2）对于迭代格式B：x1n?1?10(4?exn)，
其迭代函数为?(x)??lx10e，在[0,0.4]内
|?(x)|?1ex10?1，
所以收敛。
22
0.4]内
5、解：（1）Jocobi迭代法：
?x1(k?1)??1/a11?(k?1)?????0?x2?0?????a21/a22??0??1/a22??a210a12??x1(k)??1/a11?????0??x2(k)??0??b1???? 1/a22??b2?0a12/a11??x1(k)??b1/a11???(k)???? 0b/a??x2??222?a12/a11=??2因为
?a21/a22a21a12a11a22??0????|a21a12a11a22|??J?|a21a12a11a22| （2）Gauss-Seidel迭代法：
1/a11?x1(k?1)?????(k?1)??x??a21/a11a22?2??0????0a12/a11a21a12/a11a22a12/a1101/a22??0????01/a11a12??x1(k)???????0??x2(k)???a21/a11a22?? ???G?|a21a12a11a22| 01/a22??b1???? ??b2?(k)b1/a11??x1????(k)?????x2???b1a21/a11a22?b2/a22因为
?0??a21a12/a11a22=?(??a21a12a11a22)?0???a21a12a11a22综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。 6、解：（1）复化梯形公式（h?0.2）
?2.21.0f(x)dx??h2?[y0?2?(y1?y2?y3?y4?y5)?y6]0.22
?[?1?2?(?2?0?2?3?4)?1]?1.4（2）复化辛普森公式（h?0.4）
?2.21.0f(x)dx??h66?[y0?2?(y2?y4)?4?(y1?y3?y5)?y6]0.4
?[?1?2?(0?3)?4?(?2?2?4)?1]?1.266677、解：依题意，可知
?1?0??1??4?1??160????0?a?226??? ???1??b??279????2?430???1??160????0?a??1014?226??? ?????1??b???1012??279????2?430???1??1014??0?????1012??1??4?18???88??a??2195??????? 6??b??997??a?111.5 ??b?5.5??yn?1?yn?h(xn?yn2)?8、解：?2h2y?y?(x?y?x?y]?n?1nnnn?1n?1?2y0?1n?0,1.
y1?y0?h(x0?y0)?1?0.5(0?1)?1.5y1?y0?h2(x0?y0?x1?y1)?1?222220.52(0?1?0.5?1.5)?1.9375222y2?y1?h(x1?y1)?1.9375?0.5(0.5?1.9375)?4.0645y2?y1?h2(x1?y1?x2?y2)?1.9375?220.52(0.5?1.9375?1?4.0645)?7.3810229、解：（1）牛顿迭代格式
xk?1?xk?f(xk)f(xk)'?xk?xk?c2xk2?xk?c2xk2
（2）因为x?0时，f'(x)?0，f''(x)?2?0，所以取任意x0?c作为初始值，迭代序列必收敛到c，故迭代公式是收敛的。