武汉大学计算方法历年期末考试重点
六、（15分）分别写出求解下列方程组的雅可比、高斯-赛德尔以及超松弛迭代
格式，并说明是否收敛。
?7x1?2x2?2x3?7,? ?2x1?8x2?2x3??1,
?2x?2x?9x?3.23?1
九、（10分）设f(x)在[a,b]上导数连续。将[a,b]n等分，分点为
a?x0?x1???xn?b，步长h?xixi?1b?an
122f?(?i)h（1）证明右矩形公式?baf(x)dx?hf(xi)的误差为R??
（2）写出求?f(x)dx的复化右矩形公式。 （3）导出复化右矩形公式的误差。
三、（10分）已知数据
i xi yi 20 1 2 3 0 1 2 3 3 2 4 7 3设f(x)?ax?b(x?1)，求常数a ,b, 使得 ?[f(xi)?yi]2?min
i?0
四、（15分）设方程x?e(1)估计含根区间;
(2)分析迭代格式x0?0.5,xn?1?e?xn?x.
, n?0,1,2,??.的收敛性;
(3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问x0取何值时,迭代收敛.
九、（10分）设求积公式
?bnaf(x)dx??Ak?1kf(xk)为高斯型求积公式，
?n(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn)
（1） 问给定的求积公式的代数精度是多少次？
（2） 证明: 对任意次数小于等于n?1的多项式q(x)，必有?q(x)?n(x)dx?0；
ab（3） 证明：Ak?0,k?1,2,?,n
五、（10分）设常数a?0，分别写出求解方程组 ?a ??1?1??x1???a???x2??b1??????b?? ??2?的Jacobi迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式并给出用Gauss-Seidel迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。
十、（10分）证明求积公式
b?bnaf(x)dx???k?0kf(xk)的代数精度大于等于n的充分必要条
件是?k??alk(x)dx,(k?0,1,2,?)。其中a?x0?x1???xn?b，lk(x)是以x0,?xn为插值节点的拉格朗日插值基多项式。 七、（10分）已知数据
i xi yi 设f(x)?axsin?x60 1 2 0 1 3 1 2 3 2?b，求常数a,b,使得 ?[f(xi)?yi]2?min
i?0 5、（12分）已知数据
xi yi 求形如 y?ax?bsin
8、 （12分）设a?x0?x1???xn?b，求积公式
?f(x)dx?abn 1 2 3 4 2 1 0 1 2?x6 的拟合曲线。
?Ai?0if(xi) ………………………… （*）
为插值型求积公式,
(1) 推导出系数 Ai 的公式;
(2) 证明公式(*)的代数精度?n;
(3) 证明公式(*)的代数精度不可能大于2n?1.
?x1(k?1)??0?(k?1)??六、Jacobi?x2????2/8?x(k?1)???2/9?3???2/70?2/9?2/7??x1??1???(k)????2/8?x2???1/8
???(k)??0???x3???1/3??(k) 高斯-赛德尔类似，略。
??(k?1)(k)(k)(k)(k)x?x?[7?7x?2x?2x]11123?7???(k?1)(k)(k?1)(k)(k)松弛法：?x2?x2?[?1?2x1?8x2?2x3]
8??x(k?1)?x(k)??[3?2x(k?1)?2x(k?1)?9x(k)]33123?9?因为A对角严格占优，所以Jacob及G-S收敛。又因为A正定，所以松弛法收敛。
九、（1）f(x)?f(xi)?f?(?i)(x?xi)
?xixi?1f(x)dx?hf(xi)?n122f?(?i)h
(2) ?f(x)dx?h?f(xi)
ai?1b (3) 余项R=-h2[f?(?1)??f?(?n)]
21 =? =?三、?0(x)?x,12b?a22hnf?(?)
hf?(?)
2?1(x)?(x?1)
?3???3?2?a??? C?y?， ， ????4?4??b????7?14??a??31??????? 18??b??35? AT?0???11021?14 AAC?Ay，??14TT a?1.2143,b?1 四、（1）含根区间[0，1]
（2）?(x)?e?x，??(0.5)?0.316?1，所以收敛
（3）设f(x)?x?e?x，在[0，1]内，f?(x)?0,f??(x)?0，取x0?x*，直接取x0?0 九、（1）为2n-1次
（2）取f(x)?q(x)?n(x)，则f(x)是次数?2n?1的多项式，代入公式得
bn?aq(x)?n(x)dx?n?k?1Akq(xk)?n(xk)?0
（3）取f(x)??(x?xj)，代入公式得
2j?1j?i
?bnaf(x)dx??Ak?1kf(xk)?Aif(xi)?0，所以Ai?0,(i?1,2,?,n)
1(k)b11(k)b1?(k?1)?(k?1)x??x?x??x2?21?1?aa, G-S: aa 五、 Jacob:??1(k)b1(k?1)b2(k?1)(k?1)?x2?x2??x1?2??x1?aaaa?? G-S迭代阵为
??0???0?1?a?， ?(G)?1?1,
G21?a?2?a? GG迭代收敛?|a|?1
十、必要性：因为代数精度?n，取f(x)?lk(x)代入公式，应精确成立，得到
?k??balk(x)dx,(k?0,1,2,?)
充分性：如果?k?积分，故求积余项为 Rn(x)??balk(x)dx,(k?0,1,2,?)，则求积公式右端为f(x)的拉格朗日插值的
?bf(n?1)(?)a(n?1)!2?n?1(x)dx，
n当取f(x)?1,x,x,?,x时，f所以代数精度?n
?01???七、（10分） A?0.51
????31??(n?1)(x)?0，故Rn(x)?0
ATA??a????ATy ?b?? ?9.253.5??a???3.53??10???????6?? ???b??? ?a?0.5806,b?1.3226
5、ATA??a?T?b???Ay ?? ?3031/4????31/35/16?a?4??8?????b??????2?? a=32/89=0.36, b=-32/89 ?