武汉大学2009--2010学年第二学期考试试卷
《计算方法》 （A卷） （36学时用）
学院： 学号： 姓名： 得分：
?10一、（10分）设A?????02?103??4，x?(1,2,1)T,求范数 Ax?1??? 、谱半径 ?(A)、
条件数 Cond(A)?
二、（10分）已知 y?f(x) 的一组值：
xi 0 1 2 -2 4 8 yi
分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式。
三、（10分）已知数据
xi -2-1 0 1 2 yi 01 210 求形如 y?a?bx?cx2 的最小二乘拟合曲线。
四、（15分）已知3x2?ex?0的三个根分别位于区间[?1,0],[0,1]，[3.5,4]内。 （1）分别讨论迭代格式xn?1?13xne2(n?0,1,?)求这三个根时的收敛性。
（2）写出求[3.5,4]内根的牛顿迭代格式，并说明如何选取初值x0，使牛顿
迭代收敛于[3.5,4]内的根。
五、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组Ax?b，
其中
?2?A?4???6?116?1??20?????3b?44 ?????2???68??
六、（15分）设方程组
?1?a???0a1a0??x1??b1??????ax2?b2 ?????1????x3????b3??（1） 分别写出雅可比迭代格式及高斯-赛德尔迭代格式； （2） 问常数 a 取何值时，雅可比迭代格式收敛。
七、（10分）已知y?f(x)的一组值
xi 1.0 .2 -1 1.4 3 1.6 2 1.8 -2 1.0 2 2.2 4 2.21.025 f(x)dxf(xi) 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ?
八、（10分）用改进欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长h?0.5）：
?dy?ln(x?y)?x?[0,?dx?y(0)?1?1] （取5位有效数字计算）
九、（10分）在[a,b]内插入分点，分点为a?x0?x1???xn?b，
设 ?f(x)dx?abn?Ai?0if(xi) 为插值型求积公式。
（1）导出系数 Ai 的公式；
（2）证明此求积公式的代数精度大于等于 n, 且不超过 2n?1.
计算方法2010春A卷参考答案(2010-5-29)
一、A?1?1??0???02?10?11??4，A?1????8, ?(A)?1,Cond(A)??6?14?84
二、L2(x)?N2(x)??x2?7x?2 三、?0(x)?1,?1?TA??2???41?11?1(x)?x,100111?2(x)?x
21??a????2，C?b，y??0????4???c??1210?
T?5?TTAAC?Ay，0???10a?5835,b?0,01003710??0?34???a??4?????b?0 ??????c????2??c??
123x四、（1）?(x)?13xe2。在区间[0，1]上，??(x)?e2?1，所以求[0, 1]内根时迭代
收敛。在[3.5, 4]上，??(x)?1，迭代发散。而在[-1, 0] 上，对任意x0，迭代得到的xn均为正值,所以迭代发散。 （2）设f(x)?3x
?1?五、A?LU?2???30130??2??00??1????04,1,2?ex，在[3.5，4]内，f?(x)?0,f??(x)?0，取x0?x*，直接取x0?4
?130?4)
T?1???1 ?4??Ly?b，解得y?(20,Ux?y，解得x?(10,?x1(k?1)??0?(k?1)??六、Jacobi?x2???a??x(k?1)??0?3???1)
T?a0?a(k)0??x1??b1???(k)????a?x2??b2， G-S迭代类似(略)。 ???(k)??0???x3???b3?? Jacobi迭代阵为 ?0?BJ??a???0?a0?a0???a，特征值为??0,?0???2a，
谱半径 ?(BJ)?2a?1，所以 ?
七、复化梯形T?复化辛卜生S?
八、f(x,y)?ln(x?y),h?0.5,x0?0,x1?0.5,h3h222?a?22
[y0?2(y1?y2?y3?y4?y5)?y6]=2.2 ( h=0.2)
[y0?4y1?2y2?4y3?2y4?4y5?y6]=2.133
x2?1
yn?1?yn?0.5ln(xn?yn)? ??yn?1?yn?0.25[ln(xn?yn)?ln(xn?1?yn?1)]y1?1.0000y1?1.1014
y2?1.3368y2?1.4313
九、系数Ai??ba。 li(x)dx（见教材P157）
代数精度见 P159, P184
武汉大学2010-2011学年第二学期考试试卷
《计算方法》 （A卷） （36学时用）
学院： 学号： 姓名： 得分：
1、（12分）已知方程x?ex?2?0有一个正根及一个负根。 （1）估计出含根的区间；
（2）分别讨论用迭代格式xn?1?ex?2求这两个根时的收敛性；
n（3）如果上述格式不迭代，请写出一个你认为收敛的迭代格式（不证明）。 2、（12分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组Ax?b，
其中
?2?A?4???6137?1??0?9???6?，b??15?????34??
3、（14分）设常数a?0，方程组
?a?1????31a23??2?a???x1???3a?????x2?a?1??????x3????2a?5??
（1） 分别写出Jacobi迭代格式以及高斯-赛德尔迭代格式；
（2） 试求a的取值范围，使得Jacobi迭代格式是收敛的。
4（12分）已知3次多项式y?f(x)?ax3?bx2?cx?d的三个值：
xi yi 123 1 -1 2 （1） 求二次拉格朗日插值 L2(x)及余项；
（2）能否计算出?f(x)dx 的准确值？并说明理由。如果能够，请计算出结
13果。