5、（12分）已知数据
xi yi 1 2 2 1 3 0 4 1 根据上面数据，求一条形如y?ax?bsin2
6、（12分）已知 y?f(x) 的一组值：
xi f(xi) 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 1 2 0 -1 -3 -1 2.61.0?x6的最小二乘拟合曲线。
1 3 2 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算?f(x)dx。
7、（12分）用改进的欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程（取步长h?0.5）：
?y??xyx?[0,??y(0)?11]
8、（14分）设f(x)在[a,b]上二阶可导连续，将[a,b]2n等分，分点为
a?x0?x1???x2n?b，步长为h?x2kx2k?2b?a2n
（1） 证明求积公式?Rk?h3''f(x)dx?2hf(x2k?1)的截断误差为
3f(?k),?k?[x2k?2,x2k],k?1,2,?n
b利用（1）中的求积公式及误差理论，导出求积分?f(x)dx的复化求积公式及其
a误差。
武汉大学2010-2011学年第二学期考试试卷
1、解：（1）【4分】设f(x)?x?ex?2，
2f(1)?3?e?0，f(2)?4?e?0?含正根的区间为(1,2)；
f(?1)?1?e?1?0，f(?2)??e?2?0?含负根的区间为(?2,?1)；
（2）【4分】迭代函数为g(x)?ex?2，则g'(x)?ex
在含正根区间(1,2)上，|g'(x)|?ex?e1?1，迭代格式发散；【2分】 在含负根区间(?2,?1)上，|g'(x)|?ex?e?1?1，迭代格式收敛。【2分】
（3）【4分】在含正根区间(1,2)上，收敛的迭代格式为xn?1?ln(xn?2)。 2、解：（1）【8分】先对A进行Dollittle分解。
?2?A?4???6137?1??1??0?l21??9????l3101l320??u11??00??1????0u12u220u13??u23?L?U ?u33??u11?a11?2,u12?a12?1,u13?a13??1;
l21?a21u11?2l31?a31u11?3;
u22?a22?l21u12?3?2?1?1,u23?a23?l21u13?0?2?(?1)?2;
l32?a32?l31u12u22?7?3?11?4;
u33?a33?l31u13?l32u23?9?3?(?1)?4?2?4
所以
?2?A?4???6137?1??1??0?2??9????30140140??2??00??1????0110?1??2。 ?4???1?（2）【2分】2???30??y1??6??y1?6??????0y2?15??y2?3 ????????1???y3???34???y3?4
?2（3） 【2分】?0???0110?1??x1??6??x1?3??????2x2?3??x2?1 ????????4????4???x3??x3?13、解：（1）【4分】Jacobi迭代法：
?x1(k?1)??1/a?(k?1)???x2????0?x(k?1)???0?3?01/a00??0??01??1/a?????31023??2?0???x1(k)??1/a?(k)???x2???0?x(k)??0?3??01/a00??0?1/a????3a???a?1????2a?5???01/a3/a??x(k)1???????3??1/a02/a???x(k)?2???1?1/a? ???3/a2/a0??????x(k)3????2?5/a??【4分】Gauss-Seidel迭代法：
?x(k?1)a00??1?013??x(k)?1?1??1?00???3a??x(k?1)?2????1a0??2???a(k)???1)???00??x??2?a0?????a?1? ?x(k3?????32a????000??(k)?1??x3?????32a????2a?5???1/a00??013??x(k)0???2??1/a1/a0??02??1??1/a(k)??x?2??2??0??1/a21/a??3/a2?2/a3?2/a1/a????000???)?3??x(k???3/a2?2/a3?2/a2
?01/a3/a??x(k)1???3??????0?1/a2?3/a2?2/a??x(k)???2???1?4/a? ??03/a2?2/a35/a2?6/a3?????x(k)3????2?16/a?8/a2??（1） 【6分】考虑Jacobi迭代法的收敛性，即判断其谱半径是否小于1.
?1/a3/a1/a?2/a?0??(?2?4?0???0或?22?3/a2/aa)ai
?所以谱半径为
2。
|a|该迭代法收敛的充分必要条件为2|a|?1，亦即a?2或a??2。
4、解：
【4分】L(x?2)(x?3)2(x)?1?(1?2)(1?3)?(?1)?(x?1)(x?3)(2?1)(2?3)?2?(x?1)(x?2)2(3?1)(3?2)?52x?192x?8'''【4分】R2(x)?f(?)3!(x?1)(x?2)(x?3)?a(x?1)(x?2)(x?3)
0???3a?0????a?1??1/a????2a?5??
（3）【4分】?
331f(x)dx?3?31L2(x)dx??31R2(x)dx
因为?R2(x)dx?a?(x?1)(x?2)(x?3)dx?0，所以
11
?31f(x)dx??31L2(x)dx??31(52x?2192x?8)dx??13
5、解：依题意，可知
??【4分】?????12sin(?/6)??2??11/4??2????????2sin2(?/3)??a?123/4?a?1??????? ???????31??b??0?3sin2(?/2)??b??0????????4sin2(2?/3)?143/4?????1???1【4分】??1??423431?4????3??4???11/4??1?23/4?a???????1?31?b??4?43/4?23431?2?4?????1? 3??0?4????1??30???7.757.75??a??8???????
2.1875??b??2?【4分】???a?0.3596?b??0.3596
拟合曲线为y?0.3596x?0.3596sin2?x6
6、解：(1)【6分】复化梯形公式（h?0.2）
?1.60f(x)dx?h2?[y0?2(y1?y2???y7)?y8]?0.1?[1?2?(2?0?1?3?1?1?3)?2]?0.5 （2）【6分】复化辛普森公式（h?0.4）
?1.60f(x)dx??h66?[y0?4(y1?y3?y5?y7)?2(y2?y4?y6)?y8]?[1?4?(2?1?1?3)?2?(0?3?1)?2]?0.733
0.4
7、解：（1）【8分】先写出预估-校正格式： ?yn?1?yn?hxnyn??hy?y?[xnyn?xn?1yn?1]?n?1n?2n?0,1.
（2）【4分】
y0?1y1?y0?hx0y0?1?0.5?0?1?1
y1?y0?h2[x0y0?x1y1]?1?0.52[0?1?0.5?1]?1.125
y2?y1?hx1y1?1.125?0.5?0.5?1.125?1.4063y2?y1?h2[x1y1?x2y2]?1.125?0.52[0.5?1.125?1?1.4063]?1.617
8、证明：（1）【7分】该求积公式实际上是中矩形公式。在区间[x2k?2,x2k]中，f(x)的Taylor展开式为
f(x)?f(x2k?1)?f(x2k?1)(x?x2k?1)?'f(?2k?1)2!''(x?x2k?1)
2两边同时在区间[x2k?2,x2k]上积分，并利用积分第二中值定理，可得
?x2kx2k?2f(x)dx?2hf(x2k?1)?f(x2k?1)??2hf(x2k?1)??2hf(x2k?1)?f(?k)2!f(?k)3'''''x2kx2k?2(x?x2k?1)dx?2?x2kx2k?2f(?k)2!''(x?x2k?1)dx2?hx2kx2k?23(x?x2k?1)dx
（2）【7分】复化求积公式为
?
banf(x)dx???k?1x2kx2k?2nn2k?1f(x)dx??2hf(xk?1)?2h?f(x2k?1)
k?1误差为
R??bannf(x)dx??2hf(x2k?1)?k?1?[?k?1x2kx2k?2nf(x)dx?2hf(x2k?1)]??k?1h33f(?k)?''h23f(?k)''