第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念
1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线； （4）相距为2的两点
A F 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
在向量OA、OB、 OC、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、 DE、EF B O E
和FA中，哪些向量是相等的？
C [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的向量对是： 图1-1
OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE.
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中， KL中，NM1AC. KL与AC方向相同；在?DAC21AC. NM与AC方向相同，从而2KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝
NM.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：
(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、
EG;
(4) AD、GF; (5) BE、CH. [解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）； 互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法
1.要使下列各式成立，向量a,b应满足什么条件？ （1）a?b?a?b; （2）a?b?a?b; （3）a?b?a?b; （4）a?b?a?b;
图1—3 （5）a?b?a?b.
[解]：（1）a,b所在的直线垂直时有a?b?a?b；
（2）a,b同向时有a?b?a?b;
（3）a?b,且a,b反向时有a?b?a?b; （4）a,b反向时有a?b?a?b;
（5）a,b同向，且a?b时有a?b?a?b.
§1.3 数量乘向量
1 试解下列各题．
⑴ 化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．
⑵ 已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b．
???????3x?4y?a⑶ 从向量方程组??，解出向量x，y． ????2x?3y?b??????????????????解 ⑴
(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)?xa?xb?ya?yb?xa?xb?ya?yb?2xb?2ya⑵ a?b?e1?2e2?e3?3e1?2e2?2e3?4e1?e3，
a?b?e1?2e2?e3?(3e1?2e2?2e3)??2e1?4e2?3e3， 3a?2b?3(e1?2e2?e3)?2(3e1?2e2?2e3)??3e1?10e2?7e3． 2 已知四边形ABCD中，AB?a?2c，CD?5a?6b?8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．
???1?1?1???1?? 解 EF?CD?AB?(5a?6b?8c)?(a?2c)?3a?3b?5c．
2222????????????????????????????????????????????????????????? 3 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB
∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．
4 在四边形ABCD中，AB?a?2b，BC??4a?b，CD??5a?3b，证明ABCD为梯形．
?????????????????????????????? 证明∵AD?AB?BC?CD?(a?2b)?(?4a?b)?(5a?3b)?2(?4a?b)?2BC ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．
6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线向量AL, BM,
?
??????????????CN可 以构成一个三角形.
[证明]： ?AL?12(AB?AC) BM?12(BA?BC)
CN?12(CA?CB)
?AL?BM?CN?12(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0
从而三中线向量AL,BM,CN构成一个三角形。
7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 OA?OB+OC=OL+OM+ON.
[证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC
?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0
?OA?OB?OC?OL?OM?ON
8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
OA+OB+OC+OD＝4OM.
[证明]：因为OM＝
12(OA+OC), OM＝12(OB+OD), 所以 2OM＝12(OA+OB+OC+OD) 所以
OA图1-5
+OB+OC+OD＝4OM.
9 在平行六面体ABCDEFG（参看第一节第4题图）中，AC??AF??AH??2AG?．
??????? 证明 AC?AF?AH?AC?AF?AD?DH?AC??AF??FG??CG??2AG?．证明
10. 用向量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN?MA?AN?MA?AD?DN，
MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即
???1?1? MN?(AD?BC) ，故MN平行且等于(AD?BC)．
22????????????????
11. 用向量法证明，平行四边行的对角线互相平分.
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点
?AD?OD?OABC?OC?OB但 AD?BC
图1-4 ?OD?OA?OC?OBOA?OC?OD?OB由于(OA?OC)∥AC,(OB?OD)∥BD,而AC不平行于BD，
?OA?OC?OD?OB?0，
从而OA=OC，OB=OD。
12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: [证明]：因为
?OA1+OA2+…+OAn＝0.
OA1＋OA3＝?OA2, OA2＋OA4＝?OA3, ……
OAn?1+OA1＝?OAn, OAn＋OA2＝?OA1,
所以 2(OA1+OA2+…+OAn)
?所以 (?－2)(OA1+OA2+…+OAn)＝0. 显然 ?≠2, 即 ?－2≠0.
?所以 OA1+OA2+…+OAn＝0.
13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：PA1?PA2???PAn?nPO 证明：?OA1?OA2???OAn?0
?PA1?PO?PA2?PO???PAn?PO?0
＝?(OA1+OA2+…+OAn),
?????? 即 PA1?PA2???PAn?nPO
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
1．在平行四边形ABCD中，
（1）设对角线AZ?a,BD?b,求AB,BC,CD,DA. 解：AB??1111b?a,BC?b?a,CD?b?a,DA??b?a．设边BC和CD的2222????????（2）中点M和N，且AM?P,AN?q求BC,CD。 解：AC?1?1?q?P,BC?2MC?2?q?P?P??q?3P 2?2????? CD?2CN?2AN?AC?2????1??1p?q?q??q?p
2??22．在平行六面体ABCD-EFGH中，设AB?e1,AD?e2,AE?e3,三个
面上对角线向量设为AC?p,AH?q,AF?r,试把向量a??p??q??r写成e1,e2,e3的线性组合。
证明：AC?p?e2?e1,AH?q?e3?e2， AF?r?e3?e1，
a??AC??AH??AF
???????e1??????e2??????e3
3. 设一直线上三点A, B, P满足AP＝?PB(??－1),O是空间任意一点，求证：
OA??OB
1??[证明]：如图1-7，因为
OP＝
AP＝OP－OA,
PB＝OB－OP,
所以 OP－OA＝? (OB－OP),
(1+?)OP＝OA+?OB,
OA??OB从而 OP＝.
1??4. 在?ABC中,设AB?e1,AC?e2.
图1-7