第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程
1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(?6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？
解：动点M在轨迹上的充要条件是MA?
1MB。设M的坐标(x,y)有 2(x?3)2?y2?1(x?6)2?y2 化简得(x?6)2?y2?36 2故此动点M的轨迹方程为(x?6)2?y2?36
此轨迹为椭圆
2.有一长度为2a(a＞0）的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，
是求此线段中点的轨迹。A，B为两端点，M为此线段的中点。 解：如图所示 设A(x,o),B(o,y).则M(,).在Rt?AOB中有
xy22(x2?y2)?(2a)2.把M点的坐标代入此式得:
(x2?y2)?a2(x?0,y?0).∴此线段中点的轨
迹为(x?y)?a.
2222
3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值m,求此动点的轨迹.
解:设两定点的距离为2a,并取两定点的连线为x轴, 两定点所连线段的中垂线为y轴.现有:
AM?BM?m2.设M(x,y)在Rt?BNM中
222 (a?x)?y?AM. (1) 在Rt?BNM中
2
(a?x)2?y2?BM. (2) 由(1)(2)两式得:
(x2?y2)2?2a2(x2?y2)?m4?a4.
4.设P,Q,R是等轴双曲线上任意三点,求证?PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.
?x?ct?证明:设等轴双曲线的参数方程为?c P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).重心H
y??t?(
x1?x2?x3y1?y2?y3,) 33
5.任何一圆交等轴双曲线xy?c2于四点P(ct1,),Q(ct2,一定有t1t2t3t4?1.
ct1ccc),R(ct3,)及S(ct4,).那么
t3t4t2
22证明:设圆的方程x?y?2Dx?2Ey?F?0.圆与等轴双曲线交点(ct,),则代入得
ctc22Ecct?2?2Dct??F?0.整理得: c2t4?2Dct3?Ft2?2Ect?c2?0.可知
tt22c2(i?1,2,是它的四个根3,则有韦达定理t1?t2?t?3t4?(?1)2?1.
c4
8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴y?x; ⑵ x?y2?3?解:⑴?x?t
??y?t231212?a,?a?0?; ⑶x3?y3?3axy?0,?a?0?.
12令x?acos?,代入方程x?y?a 得y?a?acos12121224121212??asin2?,y?asin4?
124??x?acos?. ?参数方程为?4??y?asin?33⑶令y?tx,代入方程x?y?3axy?0
得1?tx?3atx?0
?3?32?x21?t3x?3at?0
?????x?0或x?3at1?t3
3at3at2当x?0时,y?0;当x?时,y?
1?t31?t33at?x???1?t3故参数方程为?. 23at?y??1?t3?
§2.2 曲面的方程
1、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C22?2MA?z
?z
亦即(x?4)?y?z?(x?4)2?y2?0
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x?4)?y?0
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m，二定点的距离为2a，则二定点的坐标为(a,0,0),(?a,0,0)，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则
22M(x,y,z)?C2?22(x?a)2?y2?z2?m(x?a)2?y2?z2
2222亦即(x?a)?y?z?m[(x?a)?y?z]
经同解变形得：(1?m)(x?y?z)?2a(1?m)x?(1?m)a?0 上式即为所要求的动点的轨迹方程。
（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为2c，距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z)，
2222222要求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C?(x?c)2?y2?z2?(x?c)2?y2?z2?2a
222222亦即(x?c)?y?z?2a?(x?c)?y?z
两边平方且整理后，得：(a2?c2)x2?a2y2?a2z2?a2(a2?c2) （1）
?a?c?令b2?a2?c2
从而（1）为b2x2?a2y2?a2z2?a2b2 即：b2x2?a2y2?a2z2?a2b2
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C?(x?c)2?y2?z2?(x?c)2?y2?z2??2a
x2y2z2类似于（2），上式经同解变形为：2?2?2?1
abc其中 b?c?a222(c?a) （*）
（*）即为所求的轨迹的方程。
（4）取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0,c)，再令距离之比为
m。
设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则
M(x,y,z)?C22?2x2?y2?z2?mz
22将上述方程经同解化简为：x?y?(1?m)z?2cz?c?0 （*） （*）即为所要求的轨迹方程。
3. 求下列各球面的方程：
（1）中心(2,?1,3)，半径为；R?6 （2）中心在原点，且经过点(6,?2,3)； （3）一条直径的两端点是(2?3,5)与(4,1,?3) （4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4) 解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：
(x?2)2?(y?1)2?(z?3)2?36
（2）由已知，球面半径R?所以类似上题，得球面方程为
62?(?2)2?32?7
x2?y2?z2?49
（3）由已知，球面的球心坐标a?2?4?3?15?3?3,b???1,c??1，球的半径222R?1(4?2)2?(1?3)2?(5?3)22?21，所以球面方程为： (x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21
（4）设所求的球面方程为：x2?y2?z2?2gx?2hy?2kz?l?0 因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以
??l?0??16?8g?0 ?10?2g?6h?0 ??16?8k?0解（1）有
??l?0??h??1?g??2 ??k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0
§2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程
1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1）4x2?9y2?36 解：各题的图形如下： （1）4x2?9y2?36
z y
1） （