解：地面ABC的方程为：
2x?y?2z?5?0
所以，高h?
4.求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：
?6?2?4?53?3。
R?2?3?5?6?1114?2814?214，
所以，要求的球面的方程为：
(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.
即：x2?y2?z2?6x?10y?4z?18?0.
5．求通过x轴其与点M?5,4,13?相距8个单位的平面方程。
解：设通过x轴的平面为By?Cz?0.它与点M?5,4,13?相距8个单位，从而
4B?13CB2?C2?8.?48B2?104BC?105C2?0.因此?12B?35C??4B?3C??0.
从而得12B?35C?0或4B?3C?0.于是有B:C?35:12或B:C?3:??4?.
?所求平面为35y?12z?0或3y?4z?0.
6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴3x?6y?2z?7?0和4x?3y?5?0; ⑵9x?y?2z?14?0和9x?y?2z?6?0. 解: ⑴ ?1:1?3x?6y?2z?7??0 71?4x?3y?5??0 511令?3x?6y?2z?7???4x?3y?5? 75?2:化简整理可得:13x?51y?10z?0与43x?9y?10z?70?0.
⑵对应项系数相同,可求D?程:9x?y?2z?4?0.
'D1?D2?14?6???4,从而直接写出所求的方22
9 判别点M（2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？ （1）?1:3x?y?2z?3?0与?2:x?2y?z?4?0 （2）1:2x?y?5z?1?0与?2:3x?2y?6z?1?0
?6?1?2?3?0 解：（1）将M（2 -1 1），N（1 2 -3）代入?1，得： ?
3?2?6?3?0? 则M，N在?1的异侧 再代入?2，得：??2?2?1?4?7?0
1?4?3?4?4?0? ?MN在?2的同侧 ?MN在相邻二面角内
（2）将M（2 -1 1）N（1 2 -3）代入?1，得：? 则MN在?1的异侧。 再代入?2，得：?则MN在?2的异侧
?4?1?5?1?9?0
?2?2?15?1??8?0?6?6?2?1?13?0
?3?4?18?1??20?0? MN 在对顶的二面角内
10 试求由平面?1：2x?y?2z?3?0与?2：3x?2y?6z?1?0所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1， 2， -3）
解：设p（x y z）为二面角的角平分面上的点，点p到?1?2的距离相等
2x?y?2z?32?1?2222?3x?2y?6z?132?22?62?5x?3y?32z?19?0(1)化简得?
23x?y?4z?24?0(2)?把点p代入到?1?2上，?1?0 ?2?0
在（1）上取点（
18' 0 0）代入?1?2，?1'?0?2?0。 5\在（2）上取点（0 0 -6）代入?1?2，?1\?0?2?0
?（2）为所求，?解平面的方程为：3x?y?4z?24?0
3.3 两平面的相关位置
1.判别下列各对直线的相关位置： （1）x?2y?4z?1?0与
xy??z?3?0； 42（2）2x?y?2z?5?0与x?3y?z?1?0； （3）6x?2y?4z?5?0与9x?3y?6z?解：（1）? 1:2:(?4)?9?0。 211::(?1)， ? （1）中的两平面平行（不重合）； 42（2）? 2:(?1):(?2)?1:3:(?1)， ? （2）中两平面相交； （3）? 6:2:(?4)?9:3:(?6)， ? （3）中两平面平行（不重合）。
2.分别在下列条件下确定l,m,n的值：
（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；
（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示二平行平面； （3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：
l?3m?1n?38??? m?3n?9l?3?16即：
?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。
999（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：
2m3?? l?6?6所以：l??4，m?3。
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：
7l?2?3?0 所以： l??
3.求下列两平行平面间的距离：
（1）19x?4y?8z?21?0，19x?4y?8z?42?0； （2）3x?6y?2z?7?0，3x?6y?2z?14?0。 解：（1）将所给的方程化为：
1。 71948x?y?z?1?0 2121211948?x?y?z?2?0 212121?所以两平面间的距离为：2-1=1。
（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。
4.求下列各组平面所成的角： （1）x?y?11?0，3x?8?0；
（2）2x?3y?6z?12?0，x?2y?2z?7?0。 解：（1）设?1：x?y?11?0，?2：3x?8?0
?(? cos1,?2)?? ?(?1,?2)??32?3或
??2 2?43?。 4（2）设?1：2x?3y?6z?12?0，?2：x?2y?2z?7?0
? cos(?1,?2)??2?6?128??
7?32188?(?1,?2)?cos?1或?(?1,?2)???cos?1。
212105. 求下列平面的方程:
(1) 通过点M1?0,0,1?和M2?3,0,0?且与坐标面xOy成60角的平面; (2) 过z轴且与平面2x?y?5z?7?0成60角的平面.
0
解 ⑴ 设所求平面的方程为
xyz???1. 3b1又xoy面的方程为z=0,所以cos60??11?0??0?13b?1??1?2??????1?3??b?22?1 2解得b??320,∴所求平面的方程为
x?3?y?z?1, 326即x?26y?3z?3?0
⑵设所求平面的方程为Ax?By?0;则cos60??2A?B?A2?B24?1?5?1 23A2?8AB?3B2?0,?A?B或A??3B 3?所求平面的方程为x?3y?0或3x?y?0.
§ 3.4空间直线的方程
1.求下列各直线的方程：
（1）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线； （2）通过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面?i：
Aix?Biy?Ciz?Di?0
(i?1,2)的直线；
（3）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线； （4）通过点M(1,0,?2)且与两直线
???x?1yz?1xy?1z?1???和?垂直的直线； 11?11?10（5）通过点M(2,?3,?5)且与平面6x?3y?5z?2?0垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：
x?3yz?1?? 2?3?50