O x
§2.4 空间曲线的方程
1、平面x?c与x2?y2?2x?0的公共点组成怎样的轨迹。 解：上述二图形的公共点的坐标满足
?x2?y2?2x?0?y2?c(2?c) ????x?c?x?c从而：（Ⅰ）当0?c?2时，公共点的轨迹为：
??y?c(2?c) 及 ???x?c即为两条平行轴的直线；
（Ⅱ）当c?0时，公共点的轨迹为：
??y??c(2?c) ???x?c?y?0 即为z轴； ??x?0（Ⅲ）当c?2时，公共点的轨迹为：
?y?0 即过(2,0,0)且平行于z轴的直线； ?x?2?（Ⅳ）当c?2或c?0时，两图形无公共点。
2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？
（1）x?y?16z?64； （2）x?4y?16z?64； （3）x?4y?16z?64； （4）x?9y?10z 解：（1）曲面与xoy面的交线为：
22222222222?x2?y2?16z2?64?x2?y2?64 ????z?0?z?0此曲线是圆心在原点，半径R?8且处在xoy面上的圆。
222同理可求出曲面x?y?16z?64与yoz面(x?0)及zox面(y?0)的交线分别为：
?y2?16z2?64??x?0?x2?16z2?64， ??y?0
它们分别是中心在原点，长轴在y轴上，且处在yoz面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在
x轴上，且处在zox面上的椭圆；
（2）由面x2?4y2?16z2?64与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别为：
?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64,?,? ?z?0x?0y?0????x2?4y2?64?y2?4z2?16?x2?16z2?64亦即：?,?,?
?z?0?x?0?y?0即为中心在原点，长轴在x轴上，且处在xoy面上的椭圆；中心在原点，实轴在y轴，且处
在yoz面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x轴，且处在zox面上的双曲线。 （3）曲面x2?4y2?16z2?64与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别为：
?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64?x2?4y2?16z2?64,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?4y2?64??4y2?16z2?64?x2?16z2?64亦即?,?,?
z?0x?0y?0???即为中心在原点，实轴在x轴，且处在xoy面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在
x轴上，且处在zox面上的双曲线。
22（4）曲面x?9y?16z与xoy面(z?0)，yoz面(x?0)，zox面(y?0)的交线分别
为：
?x2?9y2?16z?x2?9y2?16z?x2?9y2?16z,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?9y2?0?9y2?16z?x2?16z亦即?,?,?
z?0y?0???x?0即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，且处在yoz面上的抛物线，以及顶点在原点，以z轴为对称轴，且处在zox面上的抛物线。
3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。
?x2?y2?z?0?x2?z2?3yz?2x?3z?3?0?0（1）?;（2）?
?z?x?1?y?z?1?0222??x?2y?6z?5?x?y?z?1（3）?（4）?2 223x?2y?10z?7?x?(y?1)?(z?1)?1???x2?y2?z?0解：（1）从方程组?
?z?x?1分别消去变量x,y,z，得：(z?1)2?y2?z?0
亦即： z2?y2?3z?1?0 （Ⅰ）
z?x?1?0 （Ⅱ）
x2?y2?x?1?0 （Ⅲ）
（Ⅰ）是原曲线对yoz平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线
（Ⅰ）对yoz平面的射影柱面方程；y?z?1?0；
（Ⅱ）对zox平面的射影柱面方程；x?2z?2x?6z?3?0； （Ⅲ）对xoy平面的射影柱面方程。x2?2y2?2x?2y?1?0。 （3） 原曲线对yoz平面的射影柱面方程：2y?7z?2?0
原曲线对zox平面的射影柱面方程：x?z?3?0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：7x?2y?23?0 （4） 原曲线对yoz平面的射影柱面方程：y?z?1?0
原曲线对zox平面的射影柱面方程：x?2z?2z?0 原曲线对xoy平面的射影柱面方程：x?2y?2y?0
222222?y2?4z?06. 求空间曲线?的参数方程. 2?x?z?0 解: 令y?2t,代入方程y?4z?0得y?t再将所得结果代入方程x?z?0得
222?x??t?x??t4.从而知曲线的参数方程为?y?2t
?z?t2?4
第三章 平面与空间直线
§ 3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于向量{?1,0,2}的平面（2）通过点
M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；
（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。
解： （1）? M1M2?{?2,?2,1}，又向量{?1,0,2}平行于所求平面， 故所求的平面方程为：
?x?3?2u?v? ?y?1?2u
?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0
（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又
M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。 （3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：
?x?5?4u?v? ?y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。
（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面
? AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}
?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?均与??平行，所以??的参数式方程为：
一般方程为：2x?y?3z?2?0.
2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：
?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，
xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：
又与所给平面方程平行的向量为：{4,?2,0},{4,0,4}，
? 所求平面的参数式方程为：
?x??4?2u?v? ?y??u?z?v?3.证明向量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：
AX?BY?CZ?0. 证明： 不妨设A?0，
则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：
DBC?x???u?v?AAA? ?y?u?z?v??BC故其方位向量为：{?,1,0},{?,0,1}，
AA从而v平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：
v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AAXYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.
Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B点的z坐标.
解： ? AB?{?3,2,5?z}