专题 立 体 几 何
1.已知m，n是两条不同直线，?，?是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A）若?，?垂直于同一平面，则?与?平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行 （C）若?，?不平行，则在?内不存在与?平行的直线 （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 解由
A，若?，?垂直于同一平面，则?，?可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于
同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C，若?，?不平行，但?平面内会存在平行于?的直线，如?平面中平行于?，?交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m与
n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确.所以选D.
2.设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??．“m∥?”是“?∥?”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 解因为?，?是两个不同的平面，m是直线且m?不能推出?//?，反过来若?//?，m条件.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
?．若“m∥?”，则平面?、?可能相交也可能平行，
??，则有m∥?，则“m∥?”是“?∥?”的必要而不充分
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．3? B．4? C．2??4 D．3??4
解由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是
1?2??1??1?2??2?2?3??4，故选D． 25.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8
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解由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为
1?4?r2??r?2r??r2?2r?2r=5?r2?4r2=16 + 20?，解得r=2，故选B. 26.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
1212?? B、?? C?2? D、?2? 333311112解这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V???1?2??(??1?2)?1???，选A.
2323A、
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
1A．2?5 B．4?5 C．2?25 D．5
2正(主)视图11侧(左)视图俯视图
?52,三棱锥表面积S表?25?2.
8.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）1?3（B）2?3（C）1?22 （D）22
?ABD,?BCD边
是等腰直角三角形，三
角
形
，
则
解由题意，该四面体的直观图如下，
?ABC,?ACD是等
113S?BCD?S?ABD??2?2?1,S?ABC?S?ACD??2?2sin60??222，所以四面体的表
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面积S?S?BCD?S?ABD?S?ABC?S?ACD?2?1?2?3?2?3，故选B. 2
9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球
O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π
CO
10.在梯形ABCD中，?ABC形
AB??25?3，
AD//BC,BC?2AD?2AB?2 .将梯
ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
2?3 （B）
（A）
4?3 （C）
（D）2?
解直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：
15V?V圆柱?V圆锥???12?2????12?1??3311.如图，已知?ABC，D是的平面角为?，则（ ） A.
沿直线CD将?ACD折成?A?CD，所成二面角A??CD?BAB的中点，
?A?DB?? B. ?A?DB?? C. ?A?CB?? D. ?A?CB??
解设?ADC??，设AB?2，则由题意AD?BD?1，在空间图形中，设A?B?t，
，
A?D2?DB2?AB212?12?t22?t2??在?A?CB中，cos?A?DB?2A?D?DB2?1?12在空间图形中，过
A?作AN?DC，过B作BM?DC，垂足分别为N
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，M，
过
N
作
NP//MB，连结A?P，∴NP?DC，则?A?NP就是二面角A??CD?B的平面角，∴
，
在
?A?NP??Rt?A?ND中，
DN?A?Dcos?A?DC?cos?，
，，故
A?N?A?Dsin?A?DC?sin?，同理，
BM?PN?sin?DM?cos?BP?MN?2cos?，显然BP?面A?NP，故BP?A?P，
在Rt?A?BP中，
A?P2?A?B2?BP2?t2?(2cos?)2?t2?4cos2?，
A?N2?NP2?A?P2sin2??sin2??(t2?4cos2?)在?A?NP中，cos??cos?A?NP? ?2A?N?NP2sin??sin?
12某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工
件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
新工件的体积）（ ）
原工件的体积8A.9?16 B.
9? C.4(2?1)3? D.12(2?1)3?
解分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，
宽，高分别为
x，y，
h，长方体上底面截圆锥的截面半径为a，则
x2?y2?(2a)2?4a2，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知
a2?h??h?2?2a12，
而
长
方
体
的
体
积
x2?y2V?xyh?h?2a2h?2a2(2?2a)
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?2?(a?a?2?2a3162，当且仅当x?y，a?2?2a?a?时，等号成立，此时利用率为)?327316827，故选A. ?1??12?29?313.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A.8cm B.
312cm3 C.
323403cm D. cm 33
m 垂直于平面? ，14.若l,m 是两条不同的直线，则“l?m ”是“l//?
的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解若l所以“l?m，因为m垂直于平面?，则l//?或l??；若l//?，又m垂直于平面?，则l?m，?m ”是“l//? 的必要不充分条件，故选B．
1111 B． C． D． 8765解由三视图得，在正方体
15.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A．
ABCD?A1B1C1D1中，截去四面体A?A1B1D1，如图
所示，，设正方体棱长为a，则VA?ABD11313??a?a，故剩余几何体体积为111326151a3?a3?a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
665D1C116若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2?，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 解由题意得：?rl:(h?2r)?2??l?2h?母线与轴的夹角为17若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16解a?12? 3A1DB1C3，则a? ．
AB32a?163?a3?64?a?4 418.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为?，则cos?的最大值为 .
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