??y8y?11612(1?y)122，22??t?1，当时取等号.所以2cos??????4y?5t?81?2525112555?4y?51???y?1t44当
11y?0时，取得最大值.
z1MP1112正视图11Q1侧视图11AEBFxDy1C1俯视图
19.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3 .
解由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V20.如图，三棱锥
18?12???2?2??12???1??33中，
.
分别是
A?BCDAB?AC?BD?CD?3,AD?BC?2，点M,NAD,BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．
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21.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
11?4???52+??22?8=?r2???4???r2?8?r?73解由体积相等得：3
22.如图，长方体ABCD?上，
A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1?8，点E，F分别在A1B1，C1D1A1E?D1F?4．过点E，F的平面?与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
AF与平面?所成
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线角的正弦值．
D1 F C1
A1
E D
B1
C
A B
D1EDFC1A1B1GCAMHB23.如图，在直三棱柱
ABC?A1B1C1中，已知AC?BC，
BC?CC1，设AB1的中点为D，
B1C?BC1?E.求证：（1）DE//平面AA1C1C；（2）BC1?AB1.
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A
B D A1
B1
E C
C1
解（1）由三棱锥性质知侧面BB1C1C为平行四边形,因此点E为B1C的中点，从而由三角形中位线性
又因
为?C??C，CC1?平面?CC1?1，?C?平面?CC1?1，?C?CC1?C，所以?C?平面
?CC1?1．又因为?C1?平面?CC1?1，所以?C1??C．因为?C?CC1，所以矩形?CC1?1是
正方形，因此?C1又因为??1??1C．?1C?平面?1?C，?C??1C?C，因为?C，所以?C1?平面?1?C．
?平面?1?C，所以?C1???1．
A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的
24.如图所示，在多面体中点，过
（Ⅱ）求二面角E?A1D?B1余弦值. A1,D,E的平面交CD1于F.（Ⅰ）证明：EF//B1C；
解（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知
A1B1//AB//DC，且A1B1?AB?DC，所以四边形A1B1CD为
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平行四边形，从而B1C又
//A1D，又A1D?面A1DE，B1C?面A1DE，于是B1C//面A1DE，
?????n1?(?1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2?(r2,s2,t2)，而该面上向量
?????????????A1B1?(1,0,0),A1D?(0,1,?1)，由此同理可得n2?(0,1,1).所以结合图形知二面角?????|n?n2|26???E?A1D?B的余弦值为??1??3|n1|?|n2|3?225.如图，在四棱锥
. P?ABCD中，已知PA?平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
?ABC??BAD??2,PA?AD?2,AB?BC?1
P Q A B
C
D
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长 解：以
???????????????,?D,???为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系??xyz，
则各点的坐标为??1,0,0?，C?1,1,0?，D?0,2,0?，??0,0,2?．
????????（1）因为?D?平面???，所以?D是平面???的一个法向量，?D??0,2,0?．
??????????????因为?C??1,1,?2?，?D??0,2,?2?．设平面?CD的法向量为m??x,y,z?，则m??C?0，
??x?y?2z?0?????．令y?1，解得z?1，x?1．所以m??1,1,1?是平面?CD的一m??D?0，即??2y?2z?0第 - 9 - 页 共 25 页
???????????D?m3???个法向量．从而cos?D,m????，所以平面???与平面?CD所成二面角的余弦值为
3?Dm????????????3．
（2）因为?????1,0,2?，设?Q????????,0,2??（0???1）， 3
26.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线
段
BE
，
DC
的
中
点
.(
Ⅰ
)
求
证
：
GF//平面
ADE ；
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
ADBFC
GE解解法一：（Ⅰ）如图，取
AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点
11所以GH?AB，且GH=AB，又F是CD中点，所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形得，
22AB?CD，AB=CD，所以GH?DF，且GH=DF．从而四边形HGFD是平行四边形，所以
GF//DH，,又DH趟平面ADE，GF平面ADE，所以GF?平面ADE．
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