30.如题（19）图，三棱锥
P?ABC中，PC?平面ABC,PC?3,?ACB??2.D,E分别为线段
AB,BC上的点，且CD?DE?2,CE?2EB?2.（1）证明：DE?平面PCD
（2）求二面角A?PD?C的余弦值。
PCDA题（19）图EB
解：(1)证明：由PC?平面ABC，DE?平面ＡＢＣ，故PC?DE由CE＝２，CD=DE＝２得?ＣＤＥ为等腰
直角三角形，故CD?DE由PC?CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE?平面PCD (2)解：由（１）知，?CDE为等腰直角三角形，?DCE＝
?4,，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝
FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２由?ACB＝
?2,得DF//AC，DFFB233故AC＝DF＝．以==，
ACBC322????????????，CB ,CP的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｃ为坐标原点，分别以CA????????????１3Ｐ(0,0,3)，Ａ(,0,0),Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,3)DA=(,-1,0)设平
2２?＝（x1,y1,z1)， 面PAD的法向量n１???????????????n1?n233????=从而法向量n1，n2夹角余弦值为cos?n1,n2????，故所求二面角A-PD-C余弦值为.
6|n1|?|n2|6
GH31.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，
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的中点为N（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线MN//平面BDH（3）求二面角A?EG?MHE的余弦值.
NKFGDOA【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示.
所以OMCPMB
1//CD，且OM?CD，NH//CD，且
2，
1NH?CD，所以OM//NH,OM?NH2所以MNHO是平行四边形，从而MN平面BDH，OH//OH，又MN??平面BDH，所以MN//平面
中，
BDH.（3）连结AC，过M作MP?AC于P.
在正方形
ABCD?EFGHAC//EG，所以
的平面角.设ADMP?EG.过P作PK?EG于K，连结KM，
所以EG则CM?平面PKM，从而KM?EG.所以?PKM是二面角
A?EG?M?2，
?1,PK?2，在Rt?CMP中，PM?CMsin45??2.在Rt?KMP中，2.即二面角
KM?PK2?PM2?为PK2232?.所以cos?PKM?KM23A?EG?M的余弦值
223.（另外，也可利用空间坐标系求解）
32.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且PD?CD，过棱PC的中点E，作EF?PB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE. （Ⅰ）证明：PB?平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
πDC，求的值． 3BC第 - 17 - 页 共 25 页
故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD?DC?1，BC??，有BD?1??， 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?2ππBD, 则 tan?tan?DPF??1??2?3, 33PD解得??2. 所以
DC12DC2π. ??. 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，?BC?2BC23（解法2）（Ⅰ）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
???? 设PD?DC?1，BC??，则D(0,0,0),P(0,0,1),B(?,1,0),C(0,1,0)，PB?(?,1,?1)，点E是PC????????11????11的中点，所以E(0,,)，DE?(0,,)，于是PB?DE?0，即PB?DE. 又已知EF?PB，
2222????????????而DE?EF?E，所以PB?平面DEF. 因PC?(0,1,?1), DE?PC?0, 则DE?PC, 所
以DE?平面PBC.由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直
角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB.
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（Ⅱ）由PD?平面ABCD，所以DP?(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由（Ⅰ）知，
????????PB?平面DEF，所以BP?(??,?1,1)是平面DEF的一个法向量. 若面DEF与面ABCD所成二面角
????????πBP?DP11DC12π???????，解得??2. 所以的大小为，则cos??????. 故当面
23|BP|?|DP|2BC?23??2DEF与面ABCD所成二面角的大小为
DC2π时，. ?BC2333.如图1，在直角梯形??CD中，?D//?C，???D??2，????C?1，?D?2，?是?D的中点，?是?C与??的交点．将????沿??折起到??1??的位置，如图2．
（I）证明：CD
?平面?1?C；
?平面?CD?，求平面?1?C与平面?1CD夹角的余弦值．
（II）若平面?1??
(II)由已知，平面A1BE角
为二面?平面?CD?，又由（I）知，???OA1，????C所以?AOC1A1-BE-C的平面角，所以
?A1OC??2.如图，以
?为原点，建立空间直角坐标系，因为
A1B=A1E=BC=ED=1，BC//ED所以B(????得BC(-2222,0,0),E(-,0,0),A1(0,0,),C(0,,0),
2222????????，CD=BE=(-2,0,0).设平面A1BC的法向量
?????2222,,0), A1C(0,,-)2222?????n1=(x1,y1,z1)，平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为?，
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则
????????n1?BC?0????????0??n1?AC1，得
??x1?y1?0??y1?z1?0，取
??n1=(1,1,1)，
?????????n2?CD?0??????????n2?A1C?0，得
?x2?0??y2?z2?0，取
????????n2?(0,1,1)，从而cos??|cos?n1,n2?|?6. 326，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦?33?2值为34.如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
又∵AE⊥EC，∴EG=EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=3，
2，故DF=322222.在Rt△FDG中，可得FG=
6.在直角梯形BDFE中，由2BD=2，BE=2，DF=
22可得EF=，∴EG?FG2?EF2，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面
AFC，∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
????????????（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间
直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－
3，0），E(1,0, 2)，F（－1,0，22），C（0，????3，0），∴AE=
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