ADHBGECFHBGECFADQ
又因为AB^CE，所以BQ^BE．
平面BEC，
(Ⅱ)如图，在平面BEC内，过点B作BQ?EC,因为BE^????????????所以AB^BE，AB^BQ以B为原点，分别以BE,BQ,BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角????坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB^平面BEC，所以BA=(0,0,2)为平面BEC的法?????????向量，设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2)，AF=(2,2,-1)
?????ì?n?AE=0，ì2x-2z=0,镲由取得.从得z=2n=(2,-1,2)眄?????2x+2y-z=0,镲?n?AF=0，???????????n?BA422?=cos狁n,BA=????=,所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
3|n|×|BA|3′23解法二：(Ⅰ)如图，取
而
AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM//AE，
又
（Ⅱ）同解法一． 27.如图，在三棱柱
ABC?A1B1C1-中，?BAC?90?，AB?AC?2，A1A?4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.（1）证明：面角的余弦值.
A1D?平面A1BC；（2）求二面角A1-BD-B1的平
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解：（1）设E为BC的中点，由题意得∴
A1E?平面ABC，∴A1E?AE，∵AB?AC，
AE?BC，故AE?平面A1BC，由D，E分别B1C1，BC的中点，得DE//B1B且
DE?B1B，从而DE//A1A，∴四边形A1AED为平行四边形，故A1D//AE，又∵AE?
平面
（2）作A1F?BD，且A1F?BD?F，连结B1F， A1BC1，∴A1D?平面A1BC1；
由
AE?EB?2，?A1EA??A1EB?90?，得A1B?A1A?4，由A1D?B1D，
A1B?B1B，得?A1DB??B1DB，由A1F?BD，得B1F?BD，因此?A1FB1为二面角 A1?BD?B1的平面角，由A1D?2，A1B?4，?DA1B?90?，得BD?32，
A1F?B1F?41，由余弦定理得，cos?A1FB1??. 38
28.如图，在三棱台DEF?ABC中，AB?2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
（Ⅰ）求证：
BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF?平面ABC，
AB?BC,CF?DE ，?BAC?45? ,求平面FGH与平面
ACFD 所成的角（锐角）的大小.
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【解析】(I)证法一：连接DG,CD，设CD?GF?O，连接OH，在三棱台DEF?ABC中，
所以四边形
AB?2DE,G为AC的中点可得DF//GC,DF?GCDFCG为平行四边形则O为
CD的中点又H为
BC的中点所以OH//BD 又OH?平面FGH, BD??平面FGH,所以
BD//平面FGH．
证
法
二
：
在
三棱
台
DEF?ABC中，由
BC?2EF,H为
BC的中
因为 BD?平面 ABED所以 BD//平面FGH （II）解法一：设AB?2 ，则CF?1
在三棱台DEF边形，因此
?ABC中，G为AC的中点由DF? 又
1AC?GC ，可得四边形DGCF 为平行四2DG//CFFC?平面
ABC 所以
DG?平面
ABC 在
?ABC中，由
AB?BC,?BAC?45? ，G是AC中点，所以AB?BC,GB?GC 因此GB,GC,GD 两两
垂直,以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz
所以G?0,0,0?,B??22?2,0,0,C0,2,0,D?0,0,1? 可得H??2,2,0??,F0,2,1???????
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??????22?????故GH?? 设n??x,y,z? 是平面FGH 的一个法向量，则由
?2,2,0??,GF?0,2,1???????????????n?GH?0,?x?y?0 可得? 可得平面FGH 的一个法向量n?1,?1,2因为GB 是平面?????????2y?z?0?n?GF?0,??????????????GB?n21???ACFD 的一个法向量，GB?2,0,0所以cos?GB,n?????? 所以平面与|GB|?|n|222??????平面所成的解(锐角)的大小为60 解法二：作HM??AC 于点M ，作MN?GF 于点N ，连接NH 由FC? 平面ABC ，得
HM?FC 又FC?AC?C 所以HM?平面ACFD 因此GF?NH的角
所以?MNH 即为所求
所以平面FGH与平面29
如
图
ACFD所成角（锐角）的大小为60? .
在
四
棱
柱
，
ABCD-A1B1C1D1中，侧棱
A1A?底面ABCD,AB?AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5,且点
M和N分别为
B1C和D1D的中点.(I)求证：MN//平面ABCD；(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为
【解析】如图，以
1，求线段A1E的长 3依题意可A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,?2,0)， A为原点建立空间直角坐标系，
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D1C1NA1B1D1C1NDCA1B1MAB
MDCAB，又因为M,N分别为B1C和D1D的中点，得M?1??1,,1?,N(1,?2,1). ?2????????5?(I)证明：依题意，可得n?(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，MN??0,?,0?，
2????????由此可得，MN?n?0，又因为直线MN?平面ABCD，所以MN//平面ABCD ???????????(II)AD1?(1,?2,2),AC?(2,0,0)，设n1?(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则 ???????????x?2y?2z?0?n1?AD1?0，即?，不妨设z?1，可得n1?(0,1,1)， ????????2x?0??n1?AC?0????????????????n2?AB1?0设n2?(x,y,z)为平面ACB1的一个法向量，则???，又AB1?(0,1,2)，得 ???????n2?AC?0????y?2z?0，不妨设z?1，可得n2?(0,?2,1) ??2x?0
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