m222将y=mx－代入x+4y=1，得
2（1+4m2)x2－4m3x+m2－1=0．
x1+x24m32m3=于是x1+x2=，x0=， 21+4m21+4m2m2－m2又y0=mx0， －=22(1+4m2)于是 直线OD的方程为y=－1x． 4m联立方程y=－11x与x=m，得M的坐标为M(m,－)． 4m41上． 4所以点M在定直线y=－m2m2（ii）在切线l的方程为y=mx－中，令x=0，得y=－，
22m2m21)，又P(m,)，F(0,)， 即点G的坐标为G(0,－2221m(m2+1)所以S1=m×GF=；
242m3－m2,)，得 再由D(4m2+12(4m2+1)12m2+12m3+mm(2m2+1)2S2=××2=
244m+18(4m2+1)S12(4m2+1)(m2+1)于是有 ． =S2(2m2+1)212(t－)(t+1)S11122==2+－ 令t=2m+1，得S2tt2t2当=1tS119时，即t=2时，取得最大值． 24S2此时m=21221，m=，所以P点的坐标为P(,)． 2224所以
S1921的最大值为，取得最大值时点P的坐标为P(,)．
424S23、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为
8。设M是C上纵坐3标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值 【解析】
（1）因为C上的点到直线??与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以
??为准线的抛物线在正方形?FG?内的部分，其方程为y2?4x（0?y?2）．
（2）依题意，点?的坐标为?所求的矩形面积为
?1?,1?． ?4?511，而所求的五边形面积为． 24矩形面积与“经验值”之差的绝对值为
581??，而五边形面积与“经验值”之差 236的绝对值为
1181??，所以五边形面积更接近于S1面积的“经验值”． 43124、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
y2双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。
b2（1）若l的倾斜角为
?2，?F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
????????????（2）设b?3，若l的斜率存在，且(F，求l的斜率. 1A?F1B)?AB?0【答案】（1）y??2x．（2）?【解析】（1）设??x?,y??．
2224由题意，F2?c,0?，c?1?b2，y??bc?1?b，
15. 5??因为?F1??是等边三角形，所以2c?3y?，
242即41?b?3b，解得b?2．
??故双曲线的渐近线方程为y??2x． （2）由已知，F1??2,0?，F2?2,0?．
设??x1,y1?，??x2,y2?，直线l:y?k?x?2?．显然k?0．
?2y2?1?x?2222由?，得?k?3?x?4kx?4k?3?0． 3?y?k?x?2??22因为l与双曲线交于两点，所以k?3?0，且??361?k?0．
??设??的中点为??x?,y??．
?????????????????????由F?k??1． 1??F1?????0即F1????，故kF1?????0，知F1???6k3kx1?x22k2?2而x??，y??k?x??2??2，kF1??， 2k?32k?32k?3所以
3k3152l?k??1k?，得，故的斜率为． ?22k?3555、（2016年四川高考）已知椭圆E：
3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣· ∣PB∣，并求λ的值.
?x2y2有方程组??2b2?b2?1, 得3x2?12x?(18?2b2)?0.①
??y??x?3,方程①的判别式为?=24(b2?3)，由?=0，得b2=3，
此方程①的解为x=2，
所以椭圆E的方程为x26?y23?1. 点T坐标为（2,1）.
4m4m2?12,x1x2?由②得x1?x2=?. 33所以PA?(2?2m2m52m?x1)2?(1??y1)2?2??x1 ， 3323同理PB?52m2??x2， 2352m2m(2??x1)(2??x2) 433所以PB?PB??52m22m(2?)?(2?)(x1?x2)?x1x2 43352m22m4m4m2?12?(2?)?(2?)(?)?43333 10?m2.9
42故存在常数??，使得PT??PA?PB.
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