考研线性代数知识框架图
?A可逆 ??r(A)?n ??A的列（行）向量线性无关 ?A的特征值全不为0 A?0???Ax?0只有零解 ?? ?x?0，Ax?0 ????Rn,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ?A?E ??A?p1p2???ps pi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.
??A不可逆 r(A)?nA?0??? ?A的列（行）向量线性相关
??0是A的特征值 ??Ax?0有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?注：aE?bA?0??n ?(aE?bA)x?0有非零解
???=-ab 向量组等价?矩阵等价(?)??矩阵相似(?)???具有??反身性、对称性、传递性 ?矩阵合同(?)??
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√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材152； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
nna11行列式的定义 Dn?a12a22?an2???a1na2n?ann?j1j2?jna21?an1?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
AOA?AO=??ABOBOB?BOABO=?ABO?(?1)mnAB
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
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?④关于副对角线：
a1na2n?1??OOa2n?1?an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2n?an1
an11x12⑤范德蒙德行列式：x11x22x2????12???xi?xj? xnn?i?j?1?n?1xnxn?x1n?1n?1x2??a11?a21?矩阵的定义 由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1?A11?A??12????A1nA21?A22?A2na12a22?am2?a1n???a2n?称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n
m?n????amn?伴随矩阵 A?Aij*??TAn1???An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式. ????Ann?√ 逆矩阵的求法:
?ab?1?d?b?A?1?① A? 注： ????
cd?caad?bcA??????1?(E?A②(A?E)????初等行变换?1)
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?a1?③???a2?1?a1??1?????a3????mn1a2????? ???a1??3a3? (Am)n?(A)mn
a2?1?a1?????????a1??11a31a2??? ???√ 方阵的幂的性质：AA?Am?n√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，
则
AB?Cm?s??b11b12?b1s???bb?b21222s???c1,c2,?,cs???1,?2,???,?n?????????bb?bns??n1n2?A?i?ci ，
(i?1,2,?,s)??i为
Ax?ci的解
?A??1,矩阵.
??2,?s??,??A?1?A,2?s,??A??,???cc1,,cs可由,?1,?2,???,?n线性表示. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数?1?s?2,c2,?√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
?AB??AT√ 分块矩阵的转置矩阵：????T?CD??B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????A?1?AC??????OB??O
?1?1TCT? T?D??? ??B?1??BA?????1???A?1?1B?1?? ??A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??B?B??CB???BCA4
分块对角阵相乘：A???A11???B11?,B??A22??*??B22?? *?AB??A11B11AB????? A22B22??A??BA*分块对角阵的伴随矩阵：????B???√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)
初等行变换
(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT， 用(I)的方法求出X，再转置得XT
√ Ax?0与Bx?0同解（A,B列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 矩阵Am?n与Bl?n的行向量组等价?齐次方程组Ax?0与Bx?0同解?PA?B（左乘可逆矩阵P）；p教材101 矩阵Am?n与Bl?n的列向量组等价?PQ?B（右乘可逆矩阵Q）. √ 判断?1,?2,?,?s是Ax?0的基础解系的条件： ① ?1,?2,?,?s线性无关； ② ?1,?2,?,?s都是Ax?0的解；
③ s?n?r(A)?每个解向量中自由未知量的个数.
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