⑦
?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
?1注:x是A关于?0的特征向量,Px是B关于?0的特征向量.
√ 数量矩阵只与自己相似.
√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；
② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；
⑤ 一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,该特征值?i的重数=n?r(?iE?A)）.
正交矩阵 AA?E
n√ A为正交矩阵?A的n个行（列）向量构成?的一组标准正交基.
T√ 正交矩阵的性质：① A?A；
② AA?AA?E；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A是正交阵,则A，A也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A的行（列）向量都是单位正交向量组.
二次型 f(x1,x2,?,xn)?xAx?
TT?1TTT?1??axxijii?1j?1nnj aij?aji，即A为对称矩阵，x?(x1,x2,?,xn)
16
TA与B合同 B?CTAC. 记作：A?B （A,B为对称阵,C为可逆阵）
正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p；负惯性指数二次型的规范形中负项项数r?p； 符号差 2p?r. (r为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A?B √ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)?r(B)
正交变换 √ f(x1,x2,?,xn)?xAx经过合同变换Tx?Cy化为f??diyi2标准形. 1n可逆线性变换√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由
r(A)?正惯性指数?负惯性指数 唯一确定的.
√ 当标准形中的系数di为-1或0或1时,为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
?1????????1???1???合同. √ 惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵?????1????0??????0???
17
√ 用正交变换法化二次型为标准形:
① 求出A的特征值、特征向量； ② 对n个特征向量正交化、单位化；
?T?y1????d1③ 构造C（正交矩阵）,作变换x?Cy,则(Cy)TA(Cy)?yTCTACY?y?1CTACY??y2???d2?????y??n??上的元素di即为A的特征值.
施密特正交规范化 ?1,?2,?3线性无关,
???1??1? 正交化?????(?T2?1)?2??2(?T?1 1?1)??(?T3?1)???3??3?(?T??(?T3?2)1(?T?21?1)2?2) 单位化：??11?? ???2?2 ?3?3 1?2?3??1 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如：x????1???1?x2?x3?0取?1?? 2??，?2??0?.
? 1????1??正定二次型 x1,x2,?,xn不全为零，f(x1,x2,?,xn)?0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
18
????y1???y?2???n??新的二次型为f??diy2i,?的主对角
d???1n??yn??√ f(x)?xTAx为正定二次型?（之一成立）：
① ?x?0 ，xTAx?0；
② f的正惯性指数为n； ③ A的特征值全大于0； ④ A的所有顺序主子式全大于0；
⑤ A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CTAC?E；
???1??⑥ 存在正交矩阵C，使得CTAC?C?1AC???2?? ??????n?⑦ 存在可逆矩阵P，使得A?PTP；
√ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ A为正定矩阵的必要条件：aii?0 ； A?0. √ 若A为正定矩阵?AT,A?1,A?也是正定矩阵.
√ 若A,B为正定矩阵?A?B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵.
?i大于0）.
19
（【完】