矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的(AT)T?A (AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A (A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (AT)??(A?)T (A?1)?1?A (AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A?1?A ?1(A?B)?1?A?1?B?1 (A?1)k?(Ak)?1?A?k (A?)??A性质： n?2A (AB)??B?A? (kA)??kn?1A? A??An?1 (A?B)*?A*?B* (A)?(A)??1???1AA (Ak)??(A?)k ?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?AB?AB kA?knA Ak?A kAA??A?A?AE A?B?A?B （无条件恒成立） 11
?(1) ?1,?2是Ax?0的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax?0的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,?,?是Ax?0的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,?,?k, ??11??2?2??k?k也是它的解???线性方程组解的性质：? ?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax?0的解,???是Ax??的解?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax?0的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax?0的解??(7) ?1,?2,?,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??的解??1??2??k?011??2?2??k?k是Ax?0? ??√ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m,?r(A)?r(A??)?Ax??一定有解， 当m?n时,一定不是唯一解? m是r(A)和r(A??)的上限.
标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.
向量维数向量个数?与?正交 (?,?)?0.
?是单位向量 ??(?,?)?1.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2)
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(?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?c(?,?)?(?,c?)
A的特征矩阵 ?E?A.
A的特征多项式 ?E?A?f(?).
√ f(?)是矩阵A的特征多项式?f(A)?O
A的特征方程 ?E?A?0. Ax??x ? Ax与x线性相关
n√ A??1?2??n
??i?trA，trA称为矩阵A的迹. 1√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.
√ 若A?0,则??0为A的特征值,且Ax?0的基础解系即为属于??0的线性无关的特征向量.
??a1??√ r(A)?1?A一定可分解为A=?a2???b1,b2,?,b2n?、A?(a1b1?a2b2???anbn)A,从而A的特征值???为：?a?n??2??3????n?0 p指南358.
√ 若A的全部特征值?1,?2,?,?n，f(A)是多项式,则:
① f(A)的全部特征值为f(?1),f(?2),?,f(?n)；f(A)?f(?1)f(?2)?f(?n) ② 若A满足f(A)?0,则A的任何一个特征值必满足f(?i)?0.
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?1?trA?a1b1?a2b2???anbn,
√ 设f(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E为A的一个多项式.
k? ?kA?a??b ?aA?bE?AT? ?1?是A的特征值,则:分别有特征值. ??A?1√
?A?1?2??3?A? ????A2?2 ?m?m ?Ak? ?kA?a??b ?aA?bE1?1?? ?A√ x是A关于?的特征向量,则x也是?关于的特征向量. ?A?1?2??3A????2?A?2 ?m?m ??A√ A2,Am的特征向量不一定是A的特征向量. √ A与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
TA与B相似 B?P?1AP （P为可逆矩阵） 记为：A?B A与B正交相似 B?P?1AP （P为正交矩阵）
A可以相似对角化 A与对角阵?相似. 记为：A?? （称?是A的相似标准形）
?1√ A可相似对角化?n?r(?iE?A)?ki ki为?i的重数?A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，PAP为对角阵,主对角线上
的元素为A的特征值.设?i为对应于?i的线性无关的特征向量,则有：
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??1????2?. A(?1,?2,?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1?1,?2?2,?,?n?n)?(?1,?2,?,?n)?????????????????????n??PP?????????? 注：当?i?0为A的特征值时，A可相似对角化??i的重数?n?r(A)? Ax?0基础解系的个数. √ 若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）?r(A). √ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A可相似对角化.
??(?1)????(?)2?1kk?1?P?1 √ 若A???A=P?P?，?(A)?P?(?)P?P???????(?)n??√ 相似矩阵的性质：① trA?trB
② A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 ③ r(A)?r(B)
④A?B；A?B （若A,B均可逆）；A?B ⑤A?B （k为整数）；f(A)?f(B)，f(A)?f(B)
kkTT?1?1**?A??B?⑥A?B,C?D??????
CD????
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