√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n. ⑨ r(A)?0?A?O.
⑩ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ? 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
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√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.
矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r 向量组的秩 向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n)
?B 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?
? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B)??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤
r(?1,?2,???,?n).
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；p教材94,例10 ? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
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? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
? 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关.
√ 矩阵的秩的性质：
①若A?O?r(A)≥1 0≤r(Am?n)≤min(m,n) ②r(A)?r(AT)?r(ATA) p教材101,例15 ③r(kA)?r(A) 若k?0
④r(A?B)≤r(A)?r(B) max?r(A),r(B)?≤r(A,B)≤r(A)?r(B) p教材70
?AO??OA??AC? ⑤ r??????r(A)?r(B) r???r(A)?r(B)
OBBOOB??????⑥r(AB)≤min?r(A),r(B)?
⑦ 若Am?n,Bn?s,且r(AB)?0?r(A)?r(B)≤n ⑧若A可逆?r(AB)?r(B)
若B可逆?r(AB)?r(A)
⑨若r(Am?n)?n????Ax?0 只有零解?AB???B?0且A在矩阵乘法中有左消去律?；
?AB?AC?B?C?r(AB)?r(B)若r(Bn?s)?n?r(AB)?r(B) 且B在矩阵乘法中有右消去律.
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√ 初等矩阵的性质：
E(i,j)??1 E[i(k)]?k E[i,j(k)]?1 E(i,j)T?E(i,j) E[i(k)]T?E[i(k)] E[i,j(k)]T?E[j,i(k)] E(i,j)?1?E(i,j) E[i(k)]?1?E[i(1k)]E[i,j(k)]?1?E[i,j(?k)] E(i,j)*??E(i,j) E[i(k)]*?kE[i(1k)]E[i,j(k)]*?E[i,j(?k)] 9
??Ax??有无穷多解 ???n?表示法不唯一 当A为方阵时???1,?2,?,?n线性相关?Ax?0有非零解??????A?0 ??可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A??)??Ax??有唯一组解 ???n?表示法唯一 ?当A为方阵时??,?,?,?线性无关?Ax?0只有零解??????A?0?克莱姆法则?12n???r(A)?r(A??) ?不可由?,?,??1,?2n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A??) ???r(A)?1?r(A??)Ax??有无穷多解?注：
??其导出组有非零解
Ax??有唯一解???其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 ??a11a12?a1n??x1??A??a21a22?a????b1??2n???????,x??x2??b2??,?????? ?am1am2?a????x????mnn??bm?
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