§5 矩阵的秩
1． 判断正误
(1) 若A为m?n矩阵，R(A)?r，则r?min{m,n}。 ( )
(2) 若R(A)?r，则A的所有的r阶子式都不为0，而所有的r?1阶子式都为0。
( )
(3) 若矩阵A存在一个r阶子式都不为0，则R(A)?r。 ( ) (4) 任何一个可逆矩阵都可分解为初等方阵的乘积，且分解唯一。 ( ) （5）设A为m?n矩阵，B为n?m矩阵，且m?n，则AB?0。( )
?011?12???02?2?20?，求R(A)。 2． 设A???0?1?111???1101?1??
?3??3． 设矩阵A???1??2R(A)最小？
114??4101?，(1) ?为何值时，R(A)最大？(2) ?为何值时，?7173?243? (提示：利用初等变换求秩)
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?a11??1a1?4． 讨论n阶方阵A????????111?
1??1?的秩。 ???a?5． ai(i?1,2,?,m)不全为零，bj(j?1,2,?,n)不全为零，求矩阵
?a1b1?abA??21????amb1a1b2a2b2?amb2?a1bn???a2bn?的秩。 ????ambn? (提示：利用秩的定义，考虑行列式的一阶及二阶子式)
6． 设A,B均为n阶方阵，证明： (1) 若R(A)?n，则R(AB)?R(B)； (2) 若R(B)?n，则R(AB)?R(A)。
(提示：利用可逆矩阵可分解为初等方阵的乘积，以及初等变换不改变矩阵的秩证明)
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第三章 向量组的线性相关性
§1 n维向量
?2??1??4???????5111． 设?1???, ?2???, ?3???，且3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，求向量
?1??5??2???????32?????3??。
§2 向量组的线性相关与线性无关
1． 用定义判断下列向量组的线性相关性
??1??2??1???????（1）?1??2?, ?2??0?, ?3??2?。
?1??1??2?????????x1?2x2?x3?0?解：设x1?1?x2?2?x3?3?0即有齐次线性方程组?2x1?0x2?2x3?0。
?x?x?2x?03?12?121线性方程组的系数行列式为2102?0，故由克拉姆法则方程组有非零解，即存
12在不全为零的数使得x1?1?x2?2?x3?3?0成立，故?1,?2,?3线性相关。
?1???1??1???????（2）?1??1?, ?2??2?, ?3???1?。
?3??1??0??????? 28
?x1?x2?x3?0?解：设x1?1?x2?2?x3?3?0即有齐次线性方程组?x1?2x2?x3?0。
?3x?x?0x?03?121?1线性方程组的系数行列式为11?1??1?0，故由克拉姆法则方程组只有零解，2310即只存在全为零的数使得x1?1?x2?2?x3?3?0成立，故?1
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,?2,?3线性无关。
?1??1??0??2?????????1??0, ??1, ??2． 设???3?，把?表示成?1, ?2, ?3的线性组合，23?????2?，
?1??0??1??0?????????问线性表示是否唯一？
?x1?0x2?2x3?1?解：设x1?1?x2?2?x3?3??即有非齐次线性方程组?0x1?x2?2x3?3。
?x?0x?1x?023?1102线性方程组的系数行列式为012??1?0，故由克拉姆法则方程组有唯一解，
101即?能表示成?1, ?2, ?3的线性组合，且表示唯一。
?1??1??1???????3． 设?1??1?, ?2??2?, ?3??3?，问：
?1??3??t???????（1） 当t为何值时，?1, ?2, ?3线性无关？当t为何值时，?1, ?2, ?3线性相
关？
（2） 当?1, ?2, ?3相关时，将?3表示为?1, ?2的线性组合。
111解：(1)
?1, ?2, ?3线性相关?123?t?5?0?t?5，从而
13t?1, ?2, ?3线性无关?t?5
(2) 当t?5时?3?2?2??1
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