4． 证明：若向量组?1, ?2, ?, ?s中含有零向量，则此向量组一定线性相关。
（提示：用定义证明） 证明:不妨设?1?0
法一：显然1?1?0?2???0 ?s?0，即存在不全为零的数使得?1, ?2, ?, ?s线性组合为零，故向量组一定线性相关。
法二：由?1?0可知向量组?1线性相关，又??1????1, ?2, ?, ?s?，故向量组一定线性相关。
注意：因为向量组?1, ?2, ?, ?s中含有零向量，故行列式?1, ?2, ?, ?s?0，故向量组一定线性相关。（这样证明是错误的，因为??1, ?2, ?, ?s?不一定是方阵。）
5．已知向量组
?1, ?2, ?3,?4线性无关，?1??1??2,?2??2??3，
?3??3??4,?4??4??1，用定义证明：向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。
解：设
k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，由题条件可得
?k1?k4??1??k1?k2??2??k2?k3??3??k3?k4??4?0
1?k1?k4?0?k?k?01?12又?1, ?2, ?3,?4线性无关，故有?方程组系数行列式为
k?k?00?23?0?k3?k4?0由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有k1, k2, k,3k4才成立，故向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。
01100?100?1?0
1011全为零k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0
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6．若向量?可由?1, ?2,? ,? s线性表出，则表示法唯一的充要条件为
?1, ?2, ?, ?s 线性无关。
（提示：可考虑用反证法证明）
证明：充分性（?1, ?2, ?, ?s 线性无关?表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不同的表示为
k1?1?k2?2???ks?s??l1?1?l2?2???ls?s??(1) (2)
，
由（1）（2）得?k1?l1??1??k2?l2??2????ks?ls??s?0由两个表示不一样有k1?l1,k2?l2,?ks?ls不全为零，这与?1, ?2, ?, ?s 线性无关矛盾。故当?1, ?2, ?, ?s 线性无关时表示法唯一
必要性：（表示法唯一??1, ?2, ?, ?s 线性无关）若?1, ?2, ?, ?s 线性相关，则存在不全为零的数设为m1,m2,?ms有
m1?1?m2?2???ms?s?0又?可由?1, ?2, ?, ?s线性表出记为
?3?
n1?1?n2?2???ns?s??由（3）（4）可得
(4)
?n1?m1??1??n2?m2??2????ns?ms??s??(5)
由m1,m2,?ms不全为零知道（4）（5）是?两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。 故表示法唯一??1, ?2, ?, ?s 线性无关
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7． 若向量组?1, ?2, ?3线性无关，问常数l,m需满足什么条件时，向量组
l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关？
（提示：用定义判定）
解：设x1?l?1??2??x2??2??3??x3?m?3??1??0 即有
?lx1?x3??1??x1?x2??2??x2?mx3??3?0
由向量组?1, ?2, ?3线性无关得
?lx1?x3?0??x1?x2?0 ?x?mx?03?2l方程组的系数行列式为10110?lm?1，由克拉姆法则得lm?1?0时方程组只有零解。
01m当lm??1时l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关。
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8．判断题
（1）若向量组?1, ?2, ?, ?m线性相关，则任一向量?i(1?i?m)可由其余向量线
性表出。 （ ? ） 正确为：若向量组?1, ?2, ?, ?m线性相关，则至少有一个向量?i(1?i?m)可
??1??0??0??????????由其余向线性表出。反例：?0,1,0?
????????0??0??0??????????（2）对任意一组不全为零的数?1, ?2, ?, ?m，有??则11??2?2????m?m?0，
向量组?1, ?2, ?, ?m线性相关。 （ ? ） 思考一下这在什么情况下发生
（3）若?1, ?2, ?, ?m线性相关，?1, ?2, ?, ?m亦线性相关，则有不全为零的数
?1, ?2, ?, ?m，使 ??11??2?2????m?m?0，
?1?1??2?2????m?m?0同时成立。 （ ? ）（4）若有不全为0的数?1, ?2, ?, ?m，使
?1?1??2?2????m?m??1?1??2?2????m?m?0
成立，则?1, ?2, ?, ?m线性相关，?1, ?2, ?, ?m亦线性相关。 （ ? ） （5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则
这三向量共面。 （ ? ）
9．选择题
（1）n维向量组?1,?2,?,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ D ）
（A）存在不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使??11??2?2????s?s?0；
??1??0??0???1??0??0???????????????反例?0,1,0?线性相关但0?0??0?1???0??0
???????0??0??0???0??0??0????????????????正确应为： n维向量组?1,?2,?,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是 对任意的不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使??11??2?2????s?s?0
（B）?1,?2,?,?s中任意两个向量线性无关；
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（C）?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出； （D）?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。
（2）设?1,?2,?,?m均为n维向量，那么下列结论正确的是（ B ） （A）若??11??2?2????m?m?0，则?1, ?2, ?,?m线性相关； 注意：无论
?1,?2,?,?m是否无关，当?1? ?2? ???m?0时均有
??11??2?2????m?m?0
（B）对任意一组不全为零的数?1, ?2, ?,?m，有???2?????m?m?0，11?2则向量组?1, ?2, ?,?m线性无关；
注意：（B）意味着
??11??2?2????m?m?0只有?1? ?2? ???m?0。
（C）若?1, ?2, ?, ?m线性相关，则对任意一组不全为零的数?1, ?2, ?, ?m，
有??11??2?2????m?m?0；
注意：?1, ?2, ?, ?m线性相关只是至少存在不全为零的数?1, ?2, ?, ?m，有
???2????m?m?0未必是对任意一组不全为零的数有11??2????????m?m?0 112?2 （D）因为0?1?0?2???0?m?0，所以?1, ?2, ?, ?m线性无关。 (3) 设有任意两个n维向量组?1, ?2, ?, ?m和?1, ?2, ?, ?m，若存在两组不
全
为
零
的
数
?1, ?2, ?, ?m和
k1, k2, ?, km,使
(?1?k1)?1?(?2?k2)?2???(?m?km)?m?。 (?1?k1)?1?(?2?k2)?2???(?m?km)?m?0，则 （ D ）
（A） ?1, ?2, ?, ?m 和?1, ?2, ?, ?m都线性相关； （B） ?1, ?2, ?, ?m 和?1, ?2, ?, ?m都线性无关； （C） ?1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m线性无关； （D） ?1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m线性相关。 注意：
??1??1??1???2??2??2?????m??m??m??k1??1??1??k2??2k?2????km??m??m??0
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(?1?k1)?1?(?2?k2)?2???(?m?km)?m?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2???(?m?km)?m?0