（4）向量组?1, ?2, ?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ B ）。 （A）?1??2,?2??3,?3??1 ； （B）?1,?1??2,?1??2??3；
（C）?1??2,?2??3,?3??1 ； （D）?1??2,2?2??3,?1?3?3。 注意：向量组?1, ?2, ?3与向量组?1,?1??2,?1??2??3等价。
?1, ?2, ?3线性无关故秩为3，故?1,?1??2,?1??2??3秩也为3。
?a11??a12?（5）设向量组（I）：???????a13??1??a?21?，?2??a22?，?3??a31????a32??a??23?a?；
33????a11???a13?向量组（II）：?a??a12??????a14??211????，?2??a22?a31??a?，?3??a23?，?4??a24?，则（ 32??a?a????33????a34??41??a42??a43??a44?（A） （I）相关?（II）相关； （B） （I）无关?（II）无关； （C） （II）无关?（I）无关； （D） （I）无关?（II）无关。 （6）若向量组?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，则（C）
（A）?必可由?,?,?线性表示； （B）?必不可由?,?,?线性表示；（C）?必可由?,?,?线性表示； （B）?必不可由?,?,?线性表示。注意：向量组?,?,?线性无关，??,?线性无关，又?,?,?线性相关
??必可由?,?线性表示；??必可由?,?,?线性表示；
36
）
§3向量组的秩
1． 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。
?1??1??1??4?????????1?13?2（1）?1???, ?2???, ?3???, ?4???；
?2??1??3??5?????????315???????6?（提示：首先将向量作为列向量构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为最简阶
梯形）
解：作矩阵
??1T??11?T?????1?1A??2?T???3?13???T???4?2?4??23??11?r?r,r?r,r?r21314?135?????????????????????56??1123???0?2?1?2?? ?0212???0?6?3?6???1123???0?2?1?2r? 3?r2,r4?3r?2????????????????0000???0000??故R??1, ?2, ?3, ?4??2，?1, ?2是其一个极大无关组。
??1??1??0??1?????????1?1?20（2）?1???, ?2???, ?3???, ?4???。
?0???1??2???1??????????12?2???????2?解：作矩阵
??1T???110?1???110?1??T?????1?1?1200?11?2?r2?r1,r4?r1?? A??T??????????????????3??0?22?2??0?22?2???????T??10?12?01?11????4????110?1???01?11r?r3?2r2 2?r4???????????0?22?2??????????00?11?? 37
??1??0?0??010?1??1?11?r?r34?000?????????0?11???1??0?0??010?1??1?11? ?0?11?000?故R??1, ?2, ?3, ?4??3，?1, ?2,?4是其一个极大无关组。
?a??2??1??2?????????2． 设向量组?3?, ?b?, ?2?, ?3?的秩为2，求a,b。
?1??3??1??1?????????解：法一，作矩阵
?a?2?A??1??23b231??3?r?r13?1?????????1??1??2?a??22b331??3? 1??1?21?21??1?1????0b?410?1?1r?r2?r4?? 2?2r1,r3?ar1,r4?2r1??????????????????????????????????03?2a1?a??03?2a1?a?????0?1?10b?41????1??12??0?1?1r?3?2ar,r?(b?4)r? 3242????????????????????????????????00a?2???005?b?????a?2?0?a?2故?即?时秩为2。
5?b?0b?5??a12?a??1??2???????法二：由向量组秩为2可得?3?, ?2?, ?3?线性相关，故323?0?a?2
?1??1??1?111??????212?2??1??2???????由向量组秩为2可得?b?, ?2?, ?3?线性相关，故b23?0?b?5
?3??1??1?311??????
38
3． 设向量组?1, ?2, ?, ?s能由向量组?1, ?2, ?, ?t线性表出，证明：
R（?1, ?2, ?, ?s）?R（?1, ?2, ?, ?t）
（注：该结论是线性代数重要结论之一。凡是与秩有关的命题，大多需用该结论证
明，如第4题等）
证明：令R（?1, ?2, ?, ?s）= p，不妨设A={?1, ?2, ?, ?p}为?1, ?2, ?, ?s的极大无关组；令 R（?1, ?2, ?, ?t）= q，B?{?1, ?2, ?, ?q}为
?1, ?2, ?, ?t的极大无关组。
考虑向量组M={?1, ?2, ?, ?p,?1, ?2, ?, ?q}，
则?1, ?2, ?, ?q线性无关且 ?1, ?2, ?, ?q为?1, ?2, ?, ?t的极大无关组，
?1, ?2, ?, ?t能被?1, ?2, ?, ?q线性表出。又?1, ?2, ?, ?s能由向量组?1, ?2, ?, ?t线性表出，故?1, ?2, ?, ?t也能表示?1, ?2, ?, ?p，
从而?1, ?2, ?, ?q线性无关且表示M={?1, ?2, ?, ?p,即?1, ?2, ?, ?q是M={?1, ?2, ?, ?p,故R(M)?q。
由?1, ?2, ?, ?p线性无关及秩的定义有R(M)?p。
故R（?1, ?2, ?, ?s）?R（?1, ?2, ?, ?t）
4． 设?1, ?2, ?, ?n是n个n维向量，若标准基向量e1,e2,?,en能由它们线性表
出，证明：?1, ?2, ?, ?n线性无关。
（提示：用秩法判定向量组的线性相关性）
证明：已知R{e1,e2,?,en}?n，由e1,e2,?,en能由?1, ?2, ?, ?n线性表出有
?1, ?2, ?, ?q}，
?1, ?2, ?, ?q}的极大无关组，
R{?1, ?2, ?, ?n}?R{e1,e2,?,en}?n，又R{?1, ?2, ?, ?n}?n可得
?R{?1, ?2, ?, ?n}?n??1, ?2, ?, ?n线性无关
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5． 证明：任意n?1个n维向量?1, ?2, ?, ?n?1必定线性相关。
（提示：考虑它们与单位向量组e1, e2, ?, en的表示关系，再利用第3题给出
?1, ?2, ?, ?n?1的秩的范围，最后用秩法判定）
证明：作矩阵A???1, ?2, ?, ?n?1?则由R?A??R??1, ?2, ?, ?n?1? 又R(A)?n?R??1, ?2, ?, ?n?1??n??1, ?2, ?, ?n?1必定线性相关。
6． 设向量组?1, ?2, ?, ?s与向量组
?1, ?2, ?, ?t的秩相等，且向量组
?1, ?2, ?, ?s能由向量组?1, ?2, ?, ?t线性表出，证明：?1, ?2, ?, ?s与?1, ?2, ?, ?t等价。
证明：设它们的秩为r，?1, ?2, ?, ?r为?1, ?2, ?, ?s的极大无关组；
?1, ?2, ?, ?r为?1, ?2, ?, ?t的极大无关组。
考虑向量组M={?1, ?2, ?, ?r,?1, ?2, ?, ?r}。
?1, ?2, ?, ?r}的极大无关
容易证明?1, ?2, ?, ?r也是向量组M={?1, ?2, ?, ?r,组，故R(M)?r。
若?1, ?2, ?, ?r不能线性表示?1, ?2, ?, ?r,则?1, ?2, ?, ?r必存在一个向量不妨设 若?1, ?2, ?, ?r,?1不能线性表示?1, ?2, ?, ?r,?1满足?1, ?2, ?, ?r,?1线性无关，
则?1, ?2, ?, ?r必存在一个向量不妨设?2满足?1, ?2, ?, ?r,?1,?2线性无关，如此继续下去必能找到向量组
?1, ?2,? ?,r ?,?,k?k?r?线性无关且能表示1?,2??1, ?2, ?, ?r,
故?1, ?2, ?, ?r,?1,?2,??k?k?r?是向量组M={?1, ?2, ?, ?r,?1, ?2, ?, ?r}的极大无关组，故R(M)?r?k?r，矛盾。故?1, ?2, ?, ?r能线性表示?1, ?2, ?, ?r, 从而?1, ?2, ?, ?s能线性表示?1, ?2, ?, ?t。故?1, ?2, ?, ?s与?1, ?2, ?, ?t等价。
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