由能量守恒关系式h??h???Ek得，
1hc???1hc???Ek,即
???所以, 散射光子的波长???m0c?4hh?m0c4h?.
?0.00436nm. ?1(2) 由公式????????m0c??(1?cos?)得光子的散射角
??cos?1??1m0c??????64.26. h?16-8一能量104eV的光子与一静止自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为60?. 试问: (1) 光子的波长、频率和能量各改变了多少？(2) 碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？
解：(1) 光子波长的改变量????????hm0c(1?cos?)?0.0012nm,
频率的改变量???????????h??hc22????2.37?1016Hz,
能量的改变量?E?h????97.3eV.
(2) 碰撞后，电子的动能 Ek?h??h???97.3eV, 动量 P?2mEk?5.3?10?24kg?m/s. 由于在垂直于光子入射方向上动量守恒,有0??1角 ???sin?h??sin??psin??,电子的散射
?h?P??hch?0?s?in??.
?其中, 散射光子的波长 ?????????h????1.2A4,
?1所以, 电子的散射角 ???sin??P???s?in???59. .97?16-9在康普顿效应中，如电子的散射方向与入射光子方向之间的夹角为?，
222?)/[1(??)??cos?]， 试证电子的动能为 Ek?h?(2?cos 106
其中??h?/m0c2
证：设光子的散射方向与入射光子方向之间的夹角为??，由题可知：
Ek?h??h???mc2?m0c2， （1）
h??pccos??h??cos?,,
（2）
pcsin. （3） ??h??si?n由（2）和（3）两式得
?h????pchpccos????2??222???h2???h?k?E ,2所以， ?pc??2h?pcco?s?Ek2?h? 2Ek. （4）另一方面， Ek2?m2c4?m0c2?42mm0c，且m2c4?p2c2?m02c4，
24224?Ek?2m0c?2mmc所以， ?pc??m2c4?m0c 024222222? ?Ek?2m0c??mc?m0c??Ek?2Ekm0c. （5）
令??h?/m0c2，由（4）和（5）两式得
1??1????1??????pc?Ek?Ek.
cos??cos?将上式代入（5）式，即得
Ek?h?(2?cos?)/[(1??)??222cos?].
16-10求动能为1 eV的电子的德布罗意波的波长.
解： 电子能量E?1eV，其动量p?m??2mE,电子的德布罗意波长
??hp?h2mE?1.2nm2.
16-11一质量为40g的子弹以1000m?s?1的速率飞行，求：(1)德布罗意波波长；(2) 若测量子弹位置的不确定为0.1 mm，求速率的不确定量.
解： (1) 子弹的德布罗意波长
??hp?hm??1.64?10?2?35m.
(2) 由不确定关系?x??px?可得子弹速率的不确定量
107
???h4?m?x?1 ?0.57m4s./16-12试证：如果粒子位置的不确定等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于或等于其速度的?4??倍.
证：由??hp?hm?和不确定关系?x??px?h4?m?x?h?2可得
? ?????44?m?.
16-13试证明自由粒子的不确定关系式可写成：?x????2，?为自由粒子的德布罗意波的波长.
证：由p?hh?2?得 ?p???2??，略去式中负号并代入公式?x??px???x?2得
?x??px????2?，
即 ?x????2.
16-14如用能量为12.6eV的电子轰击氢原子将产生哪些谱线？ 解：在式子 ?E?E1?中，令n?1,?E?12.6eV,?1?n2?1? 2?m?E?13.6eV，得m?3.69，取m?31，这
是氢原子被轰击后的最高能级. 根据公式
1??1?R?2?2??m??n1，
令m令m令m?3，n?1得 ?3，n?2?22， ?1?102.nmnm5， 得 ?2?654.2. ?1?121.nm，n?1得
16-15氢原子中把n?2状态下的电子移离原子，需要多少能量？ 解：需要得能量是 ?E?E122?3.4eV?5.44?10?19J.
16-16原子中一电子的主量子数n?3，它可能具有的状态数为多少？ 解：考虑到电子自旋, 它可能具有的状态数为2n2?18.
16-17一原子由一质子和一绕质子旋转的介子组成，求介子处于第一轨道
n?1时离质子的距离. 介子的电量和电子电量相等，介子的质量为电子质量的
108
210倍.
解：将氢原子玻尔第一轨道半径r1?210m?0h22πme?5.29?10?11m中的质量m换成
,得介子处于第一轨道时离质子的距离
?0h22 r1??210πme?2.52?10?13m.
16-18在氢原子中，如量子数n = 4，l可取哪些数值？对于l?3，m可取哪些数值？
答: 主量子数n = 4，l?0,1,2,3;
轨道量子数l?3，m??3,?2,?1,0,1,2,3.
16-19设有一电子在宽为0.2 nm的一维无限深的势阱中. 计算电子在最低能级的能量.
解：一维无限深势阱中电子的能级公式是
E?n2h228ma,
取n?1,a?0.2nm, 得电子最低能量
h22E1?8ma?9.25eV.
16-20 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径.
解：在均匀磁场中作圆周运动的电子的向心力是洛仑兹力:
m?2r?e?B,
电子的动量是 p?m??eB. r根据玻尔－索末菲的量子化条件??pdq?nh, (n?1,2,3?) 得
??pdq?m???r?d?, nhr?hn, 即 eB2nheB电子可能的轨道半径是 r?.
16-21证明在定态中，几率流密度与时间无关.
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证: 几率流密度的定义是
J?i?2m(????????)?i??.
.
在定态中，波函数一般可写成 ?(r,t)??(r)eEt故 ??????(r)???(r), ???????(r)??(r), 所以, 几率流密度与时间无关.
16-22由下列两定态波函数计算几率流密度：
(1) ?1?1reikr; (2) ?2?1re?ikr.
从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内（即向原点）传播的球面波.
解：在球坐标中 ???er将?1?1reikr???1???1???. ?e??e??rr??rsin??? 和?2??J1?1ri?e?ikr分别代入上式,再代入几率流密度的定义,得
??2m(?1??1??1??1)??k?er, 2mr这说明?1表示向外传播的球面波.
?i?J2?(?2??2m?2??2??2)????k?er, 2mr这说明?2表示向内（即向原点）传播的球面波.
16-23求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置. 解：一维谐振子处在第一激发态时的定态波函数是 ?1(x)?N1e12??x22H1(?x)?2?3?2?2e12??x22x,
几率密度是 ?(x)?212??xe2??x2.
令
??1(x)?x2?0,
得几率最大的位置 x?16-24 求一维势阱
?2m?. ?U0?0,U(x)???0,x?ax?a
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