中粒子束缚态(0?E?U0)的能级.
解：一维Schr?dinger方程是
d?dx22?2m?22?E?U(x)??2mE?2?0.
在阱内(x?a), 有
d?dx22d?dx2???0, (1)
在阱外(x?a), 有 在0?E?U0条件下,令?2?
?2m?2?E?U0???2m?2?0, (2)
2mE?2,?2?U0?E?,得
d?dx2222????0, (x?a) (1a)
以上两式的通解是
d?dx22????0, (x?a) (2a)
?1?x??A1sin?x?A2cos?x?Asin??x???, (x?a) (3)
?2?x??Be??x?Ce?x (x?a). (4) 考虑到x???时波函数有限,应令
?xe (x?a), (5) ?2?x??B?xe (x??a). (6) ?3?x??C?由(3)式得
1d?1?1dx??ctg???x??. (7)
由(5),(6)两式得
1d?2?2dx1d?3???, (x?a), (8)
由于?,d?dx?3dx?? (x??a). (9)
在x??a处连续,应有
a? ?ctg, ?ctg???a?????, ??????? 111
即 所以有??0和???2ctg??ctg????a??a?????1.
.
当??0时, 有 ?ctg???a???, (10) 当???2时, 有 ?tg??a???, (11)
2由以上两式得 ctg???a??1.
令?ictg??a????1,得 ctg???a??1, 所以 ?a?n??22?4,
??2即有 ??a????n????,
4?2最后得 E???2232ma?4n?1?. 2??1/2??x22216-25一维谐振子处在基态 ?(x)?12ei??t2，
求：(1)势能U?分布函数.
??x的平均值；(2) 动能T?22p22?的平均值；(3) 动量的几率
?解: (1)利用积分公式
????e?ax2dx??a,得
x?2??x?dx????2a?????e?ax22xdx?2a?1??ae?2????2a????x2xdx?212a2,
所以, U?(2)
?22p???p?dx???2?????12??x?22??4a22.
????????x22?dx???2???????a?2?ax??dx42
?a??a?224212a2?12a?,22 112
所以, T??p22??a?4?22.
12???i?px(3) 令 ??x???C??p?P(x)dp,?1Px(?)e,
得 ?(x)??a??ae?b2e?i22ax??t22.
利用积分公式
???e?ax2cosbxdx?4a得
i??t22a?22? Cp??????p?(x)dx?12?a?1?p2?p2e22,
所以, 动量的几率分布函数 Cp?22?a?ea?.
12coskx]
2kx?16-26求粒子状态为 ?(x)?A[sin
时的平均动量和平均动能.
解: (1)
?p???p?dx??i??????????????xdx,
注意到?(x)?A[sin2kx?12coskx]是偶函数,而 ?A[2ksinkxcoskx????(x)?x?12ksinkx]
是奇函数,得
????p???p?d?x??i???x??????d0x.
2?k(2) 由于?(x)?A[sin2kx?E??122coskx]?A2?1?cos2kx?coskx?,周期T?,得
?(x)?2m0?2Td?(x)dx2dx?A8m22???A8m22Tk2??4cos2kx?coskx?dx?220k252T?5?8m
?Ak.22216-27 求自旋算符
???0Sx??2?11?? 0?和
???0Sy??2?i?i?? 0?的本征值和所属的本征函数.
解: (1)
??Sx的本征值有两个: ?2.设其本征函数为????,
?b??a? 113
对于??2,有 Sx????b??0?1??a???a???, 2?b?即 ?1??a??a???????, 0??b??b??b??a??a??b?所以 ?????, 即 a?b. 又因为 ?????a?b???b??1,
???a?即 a2?b2?1. 所以 a?b??本征函数为 同理, 对于??212, 1?1??????.
2?1?1?1???. 2??1?,本征函数为 ?????(2) 同理,Sx的本征值有两个: ?.
2?1?1??对于?, Sx的本征函数为 ?????,
22?i??1?1??对于?, Sx的本征函数为 ?????.
22??i?16-28 试证明 ??x??y??z?i 和 tr??i?0, i?x,y,z， 其中
?x????0?11??0???，y??0??i?i??1???，z??0??00??. ?1??y???y???2i??证: (1) 因为 ??x?, z??x??y????y??x, x有 2??x??y?2i??z. 又因为??z2?1,得 ??x??y??z?i. (2)
?0?因为?x???11??0??，?y??0??i?i??1??，?z??0??00??, ?1?所以 tr??i?0.
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