??2K22m?dn*dn???2K22m*(2?)3n3??2f0dK?3kBT2(2?22)
?kBT?23(2?)n??2K2m*??f0dK将kBT代回（2-21）式，可得到
?1/2ne??(K)f0KdKne2??(E)f0EEdE??*?*?21/2mmfKdKfEEdE00??22ne?*m2??(E)Efg(E)dE?nem?Efg(E)dE00
2?EE*(2?23a)其中态密度g(E)?E1/2
另外，从另一个更简单的途径，我们也可以得到?：
e?ne2εne2τ，因此??*τ 因为v?*?和j?nev，所以j?nev?*mmm
??ne2?j??????m* § 3-2 各向异性导带
??em*???j?ne??(2?23b)
?在实际的Ge，Si材料，导带E(K)关系较复杂，它的等能面是椭球，而且是多谷的情况。如
图2-1所示，Si的导带在{100}方向有六个等效的椭球，而Ge在{111}方向有8个半椭球。其能量关系：
6
图2-1 Si（a），Ge（b），导带极小值等能面
22?kykz2?2kxE(K)?(*?*?*)2m1m2m3(2?24)
***m1?m2?mt,m3?ml
?1?*?m1?1??0m*??0???01*m20?0???0??1?*?m3??(2?25)
分布函数的一级小量：
??e??e??E?f0?e??K?f0e?????f0f1??Kf0???*?K*???K?E?m?Em?E?2(2?26)
由(2?18)式可得：
?J ?
?????2e?2e2?KE(K)e???KE(K)?Ef0dK?32?(2?)?(2?)3?2?2???2??f0??m*K(??m*K)??EdK(2?27)ne2当坐标建立在椭球上时，仍有??*?，注意到椭球的各向异性，存在着横向有效质量和纵
m向有效质量的差别，有m1?m2?m3。每个椭球中的电子对电导的贡献为：
*** 7
?K?ne2??*6m?1???0???0?0ne2?*6m20????0?
?2?ne??*6m3?0
?K为以该椭球坐标为参考下的电导率。Si的导带在{100}方向
有六个等效的椭球，Si的总电导率为多少呢？即涉及到这6个椭
球中电子对电导的贡献是如何相加的。
（参考《高等半导体物理》，赵冷柱，华东师范大学出版社）
注意到在上式中我们用到了两个不同的坐标系：晶体主轴坐标系或实验室坐标系（原点位于K空间的原点处），和能谷的椭球主
轴坐标系（原点位于椭球的中心），因此涉及到两个坐标的转换问题。
??????设x,y,z为晶体主轴坐标系或实验室坐标系，k1,k2,k3为能谷的椭球主轴坐标系。在普遍的情??????况下，晶体主轴坐标系（x,y,z）与某一能谷的椭球主轴坐标系（k1,k2,k3）的关系为：
?x??c11????y???c21?z??c???31c12c22c32c13??k1????c23??k2?，可简写成：X?CK
??c33???k3?若在某一能谷的椭球主轴坐标系下电流方程可写成：
?j1k???k11?k12?k13???k1??k??k??k?kkkkk?j2????21?22?23???2?，可简写成：j??? ?jk???kkk??k???3132333??????3?在晶体主轴坐标系或实验室坐标系下电流方程可写成：
?j1???11?12?13???1???????? j?????2??212223???2?，可简写成：j???j?????????3313233???3???有：Cj?C?kk?k?j?C?kC?1C?k?C?kC?1????C?kC?1
???对于硅，在k1,k2,k3的正方向上的三个能谷所对应的变换矩阵分别为：
8
?001??010??10C1???100??,C2???001??,C3??0????010?
?010????100????001????ne2?6m*?00??1又因为?K???0ne2??0??6m*? 2????00ne26m*??3??因此，若只考虑在k?1正方向上的一个能谷上的电子对电导的贡献，则：
??ne2?00???001??6m*??1?C1?K(C1)?1???100???1?0ne2?010???010???6m*?0????001?2?ne2??????100???006m*?3???2?ne?6m*?0?
0????3?0ne2?6m*?0??1???00ne2??6m*?2??若考虑了6个能谷上的电子对电导的贡献，则：
6????ii?1?ne2??6m*?00???ne2???6m*?0??ne20?1???6m*??2?3?0ne20??6m*???2??0ne216m*?0???2?22??ne2?????006m*???00ne2??0??2??6m*?3?????0??ne2?m*?00?????c?0ne2?m*?0???ne2cm*?c?2??00ne?m*??c??
0ne26m*?309
0???0??ne2?6m*??1??其中：
1112?(?)，ml,mt分别指纵向和横向有效质量。 mc3mlmtne2同样的，Jx???x*6m1(2?32)
式中1/6是考虑Si导带有6个能谷，每个能谷的电子数是n/6。
对一个能谷三个方向的电流为：
?n2???y???J?e?[x*x?*y?z*z]6m1m2m3六个能谷的总电流为：
(2?33)
?ne2???y??zJ??2[(xx?*y?**6mlmtmtne212?ne2 ??(*?*)? ?*?3mlmtmc其中：
???y??z??x??y??z??z) ?(xx?y?z) ?(x?*y?*z)]****mtmlmtmtmtml??(2?34)1112?(?m*c3m*lm*tne2σ?*τmceμ?*τmc?)????????(2?35)
上面的结果与（2-23b）相比发现，只需将mc替换m，?的表示式是相同的，特别是mc及?在这里都是标量。 对于Ge的导带电导率，虽然导带底极值情况有所不同，是在{111}的半个椭球，但在计算方法上是类似的，不作详述。 §3-3 空穴电导率 第一章中我们讨论到Ge，Si的价带极大值在?点，考虑了自旋与轨道的相互作用后，通常由两个具有不同有效质量（轻空穴和重空穴）的能带控制空穴的输运。
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