??d?k??ev?B。电子在k空间的运动方向垂直于磁场方向，而能量没有变（2）在弱磁场下，dt化，即：电子的状态将垂直于磁场在等能面上旋转。在无电场时，这种旋转并不改变电子在k空间的分布。
（3）作业：请分析在外加弱电场和弱磁场相互垂直的条件下电子在k空间中分布的变化。
§ 5 电子运动的散射机制 从前面几节的分析看出，输运参量是与弛豫时间?密切相关的。?宏观上可看成是在撤去外场后分布函数从f恢复到f0的平均时间，显然它与非平衡载流子散射有关。因此，要从理论上定量地求出?，就必须讨论各种散射机制，如：晶格振动、杂质缺陷等对电子跃迁几率的影响，从而求出?及载流子迁移率。 § 5-1 散射截面 载流子受到晶格振动、杂质缺陷等微扰势的散射是一个随机过程，故需引进散射截面的概念。设一束粒子流沿z方向射向散射中心M，入射粒子流受到M中心的碰撞而偏离原方向发生散射。考虑到散射中心（如杂质原子）比粒子流（如电子）质量大很多，因此M的运动可忽略。
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受到散射中心M作用后，入射流被散射到(?,?)方向立体角d?内的粒子数dn比例于入射的粒子浓度N及接收立体角d?，其中d??sin?d?d?。
dn??(?,?)Nd?σ(θ,?)?(2?51)
dndn的单位是面积，指的是粒子散射到单位立体角的几率，称为微分散射截面。为NdΩN每个粒子散射到d?中的几率。如果我们考虑到各方向的散射
?2??c???(?,?)sin?d??d?
00?c称为积分散射截面，它代表粒子被散射的几率。
当散射中心的力场对z轴对称，则?c与?无关可表示成（2-52）。
?c?2???(?,?)sin?d?(2?52)
对于各向同性的散射，?(?,?)与?,?无关
?c??4??d??4??v?vcos??1?cos?v?(2?53)
考虑到每经一次散射，速率在原方向的分量为vcos?，速率分量的相对变化应加一权重因子
(2?54)
得到平均微分有效散射截面或称动量传递截面
??2???(?)(1?cos?)sin?d?0(2?55)
§5-2 弛豫时间? 由式（2-14）代表的弛豫时间近似，我们可从（2-11），（2-12）式出发来求出?与散射几率及载流子分布等参量的关系。 根据（2-11）（2-12），由于散射作用单位体积单位时间内分布函数的变化率
??????????f2??W(K,K?)f(K?)[1?f(K)]?W(K?,K)f(K)[1?f(K?)]dK??tc(2?)3??(2?56)
??????????态的几率，根据??KKKK，分别代表电子从态跃迁到态及从态跃迁到W(K,K)W(K,K)热平衡下的细致平衡原理
????????W(K,K?)f0(K?)[1?f0(K)]?W(K?,K)f0(K)[1?f0(K?)]???f(K)?f0(K)?f1(K)，则（2-56）式可进一步写成
(2?57)
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?f?tc?f(K)??1?
?(K)??1?(K)???????1?f0(K?)?f0(K)[1?f0(K)]f1(K?)??1??1?????dK?W(K?,K)3???(2?)1?f0(K)?f0(K)[1?f0(K)]f1(K)?(2?58)
??????据图2-3，进一步化简上式，其中?为K与外场?夹角，??为K?与K夹角，?为K?与?夹角。
参考《高等半导体物理》，赵冷柱，华东师范大学出版社
?sin??cos(????) 有cos??cos?cos???sin化简（2-58）得：
??1?(K)????????1?f0(K?)???f0(K)[1?f0(K)]?(K?)K???1?????cos???dK?(2?59) W(K?,K)??(2?)3?1?f0(K)?f0(K)[1?f0(K)]?(K)K?1???f1(K)??(K)?Kcos???其中令：????f1(K?)??(K?)?K?cos???(2?60) ，而且对??积分时含cos(????)项为零。
?（2-59）是弛豫时间近似下?(K)的一般表达式，可看出它涉及到不同散射机制对应的跃迁几率及
散射对电子能量的影响。从能量变化的角度，散射可分成带内的弹性、非弹性散射及谷间的弹性、非弹性散射。从散射体的类型来分，散射可分为电离杂质散射、中性杂质散射和声子散射（声学波形变势散射、长光学波畸变势和长光学波极化势等）。下面分别讨论：
* 带内弹性散射
??????对于弹性散射K?K?,?(K?)??(K),f0(K)?f0(K?)，因此（2-59）式可成为：
??1?(K)?1(2?)3??????W(K,K)(1?cos?)dK?(2?61)
??根据量子力学，受一缺陷势H?作用电子的跃迁几率W(K?,K)表示成：
???2??W(K?,K)?K?H?K?
2??E?)?(EK?K(2?62)
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??????1?iK?riKr?K?H?K??eH?edrV(2?63)
通常可用（2-61），（2-62）及（2-63）式来计算弹性散射的弛豫时间。
??下面简要讨论弛豫时间?(K)与散射截面的关系。（2-61）式?(K)代表了粒子两次碰撞之间
??1的平均自由时间，?(K)就是单位时间内的碰撞几率。设有N个散射中心，则单位体积中有N
个散射截面为?c的平行圆盘。在dt时间内，粒子垂直于散射截面移动了vdt，在dt时间内一散射截面碰撞几率为：
(?cN)vdt?dt? ?(K)（等式左边表示dt内会碰到多少个散射截面，等式右边表示dt内会散射多少次）
??1因此，?(K)??cNv(2?64)
?实验上?c是可测定的，因此可计算出?(K)。
* 带内非弹性散射 式（2-59）是适用于弹性散射或非弹性散射的普遍公式。应用于非弹性散射，通常给不出弛
?豫时间的简单表达式，可将?(K)写成一个积分方程再用迭代法近似求解。推导过程中将声子与
电子非弹性的相互作用过程叠加，略去数学过程可得到非弹性散射弛豫时间表达式：
??1?(K)??????11?f0(K?)K??(K?)??{1?cos????}dK??W(K?,K)1?f(K(2?)3过程?)K?(K)0(2?65)
???(K)与?(K?)具有相同的函数形式，因此上式是一个积分方程。为了便于迭代计算，将上式改
写成：
????(K)??0(K)??0(K)?其中?0(K)?{?????1K?[1?f0(K?)]????(K?)cos??dK??W(K?,K)K(2?)3过程?[1?f0(K)](2?67)
(2?66)
???1?f0(K?)??11??dK?}W(K,K)3??(2?)过程1?f0(K)?????作为零级近似，较容易从（2-67）获得。若将（2-66）中用（2-67）?0(K)?0(K?)来?(K)?(K)代替，则可得到?(K)的一级近似，即：
?????1(K)??0(K)??0(K)???????1K[1?f0(K?)]??????W(K,K)?(K)cos?dK03??(2?)过程K[1?f0(K)]
若设?0(K)系数为S1(K),
????1(K)可简化成
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?????1(K)??0(K)??0(K)S1(K)?S1(K)?1(2?68)
(2?69)
????K?[1?f0(K?)]????0(K?)cos??dK?W(K?,K)?3??(2?)过程K[1?f0(K)]???若将?1(K)代入（2-66）则可得到?(K)的二级近似?2(K)，
???????2(K)??0(K)??0(K)S1(K)??1(K)S2(K)?????据此类推可得到?(K)的各级近似。
(2?70)
* 带（谷）间的弹性与非弹性散射 当电子密度很高或高温情况下，电子除了占据最低能带（谷）之外，有可能占据较高的能带（谷）。电子不仅在同一个等价谷（带）内发生散射，也可能在不等价的谷间发生散射，如图2-4的所示
?????与前面相比不同的是应考虑电子从i能谷K态跃迁到j能谷K态的跃迁几率W(jK?,iK)，根据
?（2-65）第i谷K态电子的弛豫时间也应考虑所有j谷的影响，即对j求和：
??j?????1?f(K)1K??(K?)0j?[1??i?cos?]dK?(2?71) ???W(jK?,iK)(2?)3过程j1?f0i(K)K?(K)??式中f0i(K)和f0j(K?)为热平衡时i，j谷的分布函数。采用与前面类似的迭代方法可求出在各
??1(i)?(K)???????iijjj谷中的?(K)??0(K)??1(K)????与?(K)??0(K)??1(K)????相应地求出各能谷中的
i迁移率，若有两个能谷则??e?总的有效迁移率为
iimi*及?j?e?jm*j，设它们的载流子浓度分别为nj,ni，
?eff?
niinjj???，n?ni?nj nn20