ab12×sin30°
由sinA＝sinB得，a＝sin120°＝43， ∴a＋c＝83. 答案：83
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得 2RsinA＝2·2R·sinB·cosC， 所以sinA＝2sinB·cosC， 即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC， 化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°， ∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形
a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则sinA＋sinB＋sinC
＝________，c＝________.
a＋b＋ca631
解析：由正弦定理得＝sinA＝sin60°＝12，又S△ABC＝2
sinA＋sinB＋sinC
1
bcsinA，∴2×12×sin60°×c＝183，
∴c＝6.
答案：12 6
a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝
sin A－2sin B＋sin C
________.
解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
a1
∴2R＝sinA＝sin30°＝2，
又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
a－2b＋c2RA－2sinB＋sin C
∴＝＝2R＝2. sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C答案：2
1
15．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝3，S△ABC＝43，则b＝________.
221
解析：依题意，sinC＝3，S△ABC＝2absinC＝43， 解得b＝23.
答案：23
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
1
解析：∵bsinC＝43×2＝23且c＝2， ∴c 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 1 解：在△ABC中，BC＝40×2＝20， ∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得 BC·sin∠ABCAC＝ sinA20sin30° ＝sin45°＝102(km)． 即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km. CC 18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sin2cos2＝12A，sin Bsin C＝cos42，求A、B及b、c. CC11 解：由sin2cos2＝4，得sinC＝2， π5π 又C∈(0，π)，所以C＝6或C＝6. 2A由sin Bsin C＝cos2，得 1 sin Bsin C＝2[1－cos(B＋C)]， 即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)， 即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1， π5π 即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝6，B＝C＝6(舍去)， 2π A＝π－(B＋C)＝3. abc 由正弦定理sin A＝sin B＝sin C，得 12sin B b＝c＝asin A＝23×＝2. 32 2ππ 故A＝3，B＝6，b＝c＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分 310 别为a、b、c，且cos 2A＝5，sin B＝10.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值． 10 解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝10， 3102∴cos B＝1－sinB＝10. 3525 又cos 2A＝1－2sin2A＝5，∴sinA＝5，cos A＝5， ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 253105102＝5×10－5×10＝2. π 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝4. 3π2 (2)由(1)知，C＝4，∴sin C＝2. abc 由正弦定理：sin A＝sin B＝sin C得 5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b. ∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a＝2，c＝5. 20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长． 11 解：由S＝2absin C得，153＝2×603×sin C， 1 ∴sin C＝2，∴∠C＝30°或150°. 又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°. ab 又∵ab＝603，sin A＝sin B，∴b＝215. 当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)． 故边b的长为215. 余弦定理 源网 1 1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝3，那么AC等于( ) A．6 B．26 C．36 D．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB 122 ＝ 4＋6－2×4×6×3＝6. 2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( ) A.3 B.2 C.5 D．2 解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c＝2. 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150° b2＋c2－a2－3bc3 解析：选D.cos∠A＝2bc＝2bc＝－2， ∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°. 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为( ) ππA.6 B.3 π5ππ2πC.6或6 D.3或3 解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得 a2＋c2－b2313cosBcosB＝2ac＝2·＝tanB2·sinB. π3π2π 显然∠B≠2，∴sinB＝2.∴∠B＝3或3. 5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对 a2＋c2－b2b2＋c2－a22c2 解析：选C.a·2ac＋b·2bc＝2c＝c. 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2. 设增加的长度为m， 则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m， 又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形． →|＝4，→|＝1，→·→7．已知锐角三角形ABC中，|AB|AC△ABC的面积为3，则ABAC的值为( ) A．2 C．4 B．－2 D．－4 1→→ 解析：选A.S△ABC＝3＝2|AB|·|AC|·sinA 1＝2×4×1×sinA， 3 ∴sinA＝2，又∵△ABC为锐角三角形， 1 ∴cosA＝2， 1→·→＝4×∴ABAC1×2＝2. 8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A.3 B．23 C.3或23 D．2 解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a， ∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23. 9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． π 解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝3. 在△ABD中， AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB 1＝ 1＋4－2×1×2×2＝3. 答案：3