10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.
设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)， ∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得
a2＋b2－c21cosC＝2ab＝－2， 又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．
13
解析：S＝2absinC，sinC＝2，∴C＝60°或120°.
1222
∴cosC＝±，又∵c＝a＋b－2abcosC， 2
∴c2＝21或61，∴c＝21或61. 答案：21或61
12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，
a2＋c2－b2k2＋k2－k211
cos B＝2ac＝2×2k×4k＝16，
71
同理可得：cos A＝8，cos C＝－4，
∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)
1
13．在△ABC中，a＝32，cos C＝3，S△ABC＝43，则b＝________.
122
解析：∵cos C＝3，∴sin C＝3.
1
又S△ABC＝2absinC＝43， 122即2·b·32·3＝43， ∴b＝23. 答案：23
→·→的值为14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则ABBC________．
AB2＋BC2－AC2
解析：在△ABC中，cosB＝ 2AB·BC49＋25－36＝2×7×5 19＝35， →·→＝|AB→|·→|·∴ABBC|BCcos(π－B) 19＝7×5×(－35) ＝－19. 答案：－19
a2＋b2－c2
15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C4＝________.
a2＋b2－c2a2＋b2－c2ab1
解析：2absinC＝S＝＝2ab·42 1
＝2abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°. 答案：45°
16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，
222??k＋k－－k＋＜0则??2＜k＜4， ?k＋k－1＞k＋1?
∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，
32＋42－227
∴最小角的余弦值为2×3×4＝8.
7答案：8 17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
11
∴cos(π－C)＝2，即cosC＝－2. 又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根， ∴a＋b＝23，ab＝2. ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC
1
＝a2＋b2－2ab(－2)
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB＝10.
18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.
(1)求边AB的长；
1
(2)若△ABC的面积为6sin C，求角C的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得
AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB， 两式相减，得AB＝1.
111
(2)由△ABC的面积2BC·AC·sin C＝6sin C，得BC·AC＝3，
AC2＋BC2－AB2
由余弦定理得cos C＝ 2AC·BCAC＋BC2－2AC·BC－AB21＝＝2， 2AC·BC
所以C＝60°.
19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值；
π
(2)求sin(2A－4)的值．
ABBC
解：(1)在△ABC中，由正弦定理sin C＝sin A，
sinC
得AB＝sinABC＝2BC＝25.
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＋AC2－BC225
cos A＝＝5， 2AB·AC
52于是sin A＝1－cosA＝5.
4
从而sin 2A＝2sin Acos A＝5，
322
cos 2A＝cos A－sin A＝5.
πππ2
所以sin(2A－4)＝sin 2Acos4－cos 2Asin4＝10.
20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．
sin Cc
解：由正弦定理，得sin B＝b.
sinC c
由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝2sin B＝2b. 又根据余弦定理，得
222
b2＋c2－a2cb＋c－a
cos A＝2bc，所以2b＝2bc， 即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2， 所以b＝c，所以a＝b＝c， 因此△ABC为等边三角形．