概率与统计
【知识要点】
1 数据的收集与处理
⑴通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论． ⑵条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额． ⑶我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量．
⑷普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的． ⑸用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．
⑹在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)称为频率．
⑺绘制频数分布直方图的步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图． 2 数据的代表
⑻在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数．
⑼将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． ⑽在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数．
⑾在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
⑿一组数据中的最大值减去最小值所得差称为极差．
⒀方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差． 计算方差公式：设一组数据是
是这组数据的平均数.则这组数据的方差是：
⒁标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．用公式可表示为：
3 可能性与概率
⒂那些无需通过实验就能够预先确定他们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
⒃无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件． ⒄表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率． ⒅概率的理论计算有：①树状图；②列表法． 4 知识脉络图
考点1..频数和频率：
例1．（2010湖南衡阳）从n个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是1，则n的值是（）A．6 B．3 C．2 D．1
2- 1 -
例2．（2010广西梧州）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（ ） A．3000条 B．2200条 C．1200条 D．600条 【举一反三】
1．（2010年山西）在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为
那么袋中球的总个数为 （ ）
A．15个
B．12个
C．9个
D．3个
14，
2．（2010辽宁本溪）一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相.为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀……多次试验发现摸到红球的频率是则估计黄色小球的数目是（ ）A．2个
B．20个
C．40个
D．48个
1，63．（2010山东德州）为了了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中50名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），进行整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（注：15~20包括15，不包括20，以下同），请根据统计图计算成绩在20~30次的频率是（A）0.4 （B）0.5 （C）0.6 （D）0.7
4.（2010年台湾省）自连续正整数10~99中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等。求选出的数其十位数字与个位数字的和为9的机率为何？ (A)
8989 (B) (C) (D) 90908989考点2. 统计表与统计图：
例3 【2010泰州】春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图．
（1）利用图中提供的信息，在专业知识方面3人得分的极差是多少？在工作经验方面3人得分的众数是多少？在仪表形象方面谁最有优势？（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10∶7∶3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？
（3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议？
【举一反三】
（2008年巴中市）国家主管部门规定：从2008年6月1日起，各商家禁止向消费者免费提供一次性塑料购物袋．为了了解巴中市市民对此规定的看法，对本市年龄在16—65岁之间的居民，进行了400个随机访问抽样调查，并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对此规定的支持人数绘制了下面的统计图．
根据上图提供的信息回答下列问题：
（1）被调查的居民中，人数最多的年龄段是 岁．
（2）已知被调查的400人中有83%的人对此规定表示支持，请你求出31—40岁年龄段的满意人数，并补全图b．
- 2 -
191817161514131211109876543210人数 20 15 10 5 0 15 20 25 30 35 次数 第3题图
甲 乙 丙 工作经验 甲 乙 丙 仪表形象 甲 专业知识
（3）比较21—30岁和41—50岁这两个年龄段对此规定的支持率的高低（四舍五入到1%，注：某年龄段的支持率
该年龄段支持人数该年龄段被调查人数??100%）．
考点3. 数据的收集：
例6．（2010 重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）A．对全国中学生心理健康现状的调查 B．对市场上的冰淇林质量的调查C．对我市市民实施低碳生活情况的调查 D．对我国首架大型民用直升机各零部件的检查 例7．（2010四川广安）下列说法正确的是
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式 B．某彩票设“中奖概率为1”，购买100张彩票就—定会中奖一次
100 C．某地会发生地震是必然事件 D．若甲组数据的方差s甲【举一反三】
1（2010 福建德化）下列调查方式合适的是（ ）
22?0.1，乙组数据的方差s乙?0.2，则甲组数据比乙组稳定
A、为了了解市民对电影《南京》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生B、为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向3位好友做了调查C、为了了解“嫦娥一号”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式D、为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式
2．（2010 贵州贵阳）下列调查，适合用普查方式的是
（A）了解贵阳市居民的年人均消费 （B）了解某一天离开贵阳市的人口流量 （C）了解贵州电视台《百姓关注》栏目的收视率 （D）了解贵阳市某班学生对“创建全国卫生城市”的知晓率
3．（2010内蒙呼和浩特）下列说法正确的个数是 （ ） ①要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 ②要了解全市居民对环境的保护意识，采抽样调查的方式 ③一个游戏的中奖率是1%，则做100次这这样的游戏一定会中奖 ④若甲组数据的方差S甲22?0.05，乙组数据的方差S乙?0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
A.0 B.1 C.2 D.3
4 （2006年贵阳市）以下适合普查的是 （ ）
（A）了解一批灯泡的使用寿命 （B）调查全国八年级学生的视力情况 （C）评价一个班级升学考试的成绩 （D）了解贵州省的家庭人均收入 考点4.总体、个体、样本、样本容量：
例8．（2006年海淀区）某班主任老师想了解本班学生平均每月有多少零用钱，随机抽取了1 0名同学进行调查，他们每月的零用钱数目是（单位：元）10，20，20，30，20，30，10，10，50，100，则该班学生每月平均零用钱约为（ ）
A. 10元
B. 20元
C. 30元
D. 40元
例9．【05宿迁】今年我市有9万名初中毕业生参加升学考试，为了了解9万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生数学成绩进行统计分析．在这个问题中总体是 A．9万名考生 C．9万名考生的数学成绩 【举一反三】
1．（2010青海西宁）“建设大美青海，创建文明城市”，西宁市加快了郊区旧房拆迁的步伐．为了解被拆迁的236户家庭对拆迁补偿
- 3 -
B．2000名考生
D．2000名考生的数学成绩
方案是否满意，小明利用周末调查了其中的50户家庭，有32户对方案表示满意．在这一抽样调查中，样本容量为 ． 2．（2010江苏徐州）为了解我市市区及周边近170万人的出行情况，科学规划轨道交通，2010年5月，400名调查者走入1万户家庭，发放3万份问卷，进行调查登记．该调查中的样本容量是 A．170万 B．400 C．1万 D．3万
3．（2010四川乐山）某厂生产上第世博会吉祥物：“海宝”纪念章10万个，质检部门为检测这批纪念章质量的合格情况，从中随机抽查500个，合格499个。下列说法正确的是（ ） （A）总体是10万个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况 （B）总体是10万个纪念章的合格情况，样本是499个纪念章的合格情况 （C）总体是500个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况 （D）总体是10万个纪念章的合格情况，样本是1个纪念章的合格情况 考点5. 平均数、中位数、众数：
例10． 【05重庆课改】刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这10次成绩的 A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
例11．（2010辽宁丹东市）为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里做了如下记录：
污染指数（w） 天数（天） 40 3 60 5 80 10 100 6 120 5 140 1 其中w<50时空气质量为优， 50≤w≤100时空气质量为良，100 例12. （2006年长春市）某商场家电部为了调动营业员的工作积极性，决定实行目标等级管理。商场家电部统计了每人营业员在某月的销售额，数据如下：（单位：万元）23 17 16 20 32 30 16 15 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 21 （1）这组数据的众数为_________________万元；中位数为_________________万元。 （2）商场规定月销售额达到或超过25万元为A级，低于19万元为C级，其他为B级，为了使商场负责 人对各等级人数比例情况一目了然，请作出扇形统计图。 【举一反三】 1．（2010四川眉山）某班一个小组七名同学在为地震灾区“爱心捐助”活动中，捐款数额分别为10，30，40，50，15，20，50（单位：元）．这组数据的中位数是__________（元）． 2．（2010 重庆）“情系玉树 大爱无疆”. 在为青海玉树的捐款活动中，某小组7位同学的捐款数额（元）分别是：5，20，5，50， 10，5，10. 则这组数据的中位数是 ． 考点6. 极差与方差： 例13. (2006年泰州市)小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近 12108642012345小明小兵期的5次测试成绩如右图所示，则小明 5次成绩的方差S12与小兵5次成绩的方 差S22之间的大小关系为S12 S22． （填“＞”、“＜”、“＝”） 例14．（2006年长春市）若一组数据1，2，3，x的极差为6，则x的值是D A．7 B．8 C．9 D．7或－3 例15．（江西省）一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分） - 4 - A 数学 英语 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩） ÷成绩标准差。 从标准分看，标准分大的考试成绩更好。请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 【举一反三】 【05玉林】甲、乙两位同学五次数学测验成绩如下表： 测验(次) 甲(分) 乙(分) 1 75 86 2 90 70 3 96 90 4 83 95 5 81 84 平均数 方差 88 82 94 85 76 85 71 B 72 C 69 D 68 E 70 平均分 标准差 2 请你在表中的空白处填上适当的数，用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析，并写出一条合理化建议． 考点7.事件与概率定义的理解： 例16．【05锦州】以下说法正确的是( ) A.在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同 B.一个游戏的中奖率是1％，买100张奖券，一定会中奖 C.一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件 D.一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是3/5 例17．（2010 浙江台州市）下列说法中正确的是( ) A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件； B．某次抽奖活动中奖的概率为 1，说明每买100张奖券，一定有一次中奖； 100 C．数据1，1，2，2，3的众数是3； D．想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查． - 5 -