可以证明：
f(?X)?12??e?(?X)/2?22
这种分布称为正态分布（高斯分布），其中的?为分布函数的特征量，其值为
n?(?Xi)??i?12n
服从正态分布的随机误差具有以下一些特征：
（1） 单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的出现的概率大。 （2） 对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（3） 有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定限度。 （4） 抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向于零。即
n??lim1nn??Xi?0
i?12）测量结果的最佳值——算术平均值
在测量不可避免地存在随机误差的情况下，每次测量值各有差异，那么，怎样的测量值是最接近于真值的最佳值呢?
我们可以利用上面所讨论的随机误差的统计规律来分析怎样确定测量结果的最佳值。 设对某一物理量进行了n次等精度测量，得到的测量列为X1、X2、?Xn。设测量中的系统误差可忽略，每次测量的随机误差分别为
?X1?X1?A
?X2?X2?A
?n
1n?Xn?Xn?A
则
1n
1n??Xi?n?i?1Xi?A
i?1上式中的
?Xi显然为n次测量值的算术平均值XX?1nn，即
?A?i?1Xi （3）
按随机误差的抵偿性，n??时，
1?Xi?0，因此X?n，由此可见，在测量次数
充分多时测量列的算术平均值趋向于真值。所以，在相同条件下进行多次测量后，我们总是取测量列的算术平均值作为测量列的最佳近似值（最佳值），因为，从统计上讲，测量列的算术平均值X比任何一个测量值Xi更接近于真值A。
此结论也适用于随机误差遵从其他分布规律的情况。 3）多次测量的随机误差估计
当我们在相同条件下对同一物理量进行了n次测量后，我们已经得到了真值的最佳近似值——算术平均值。那么，应如何表示测量中的随机误差呢?目前，最通用的方法是采用与随机误差的正态分布函数密切相关的“标准误差”来表示随机误差。
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现在让我们来分析式（2）中的特征量?的物理意义。
图1－3表示的是不同?值时f(?x)图线。由图可见，?值小，则曲线较陡，说明这组测量数据的分散性小，重复性好；而?值大，则曲线较平坦．分布较宽，说明测量数据的重复性差。
由此可见，这一特征量可用来反映一组测量数据的重复性的好坏（精密度的高低），即随机误差的大小，故将?定义为这组测量列的标准误差。其值为
nn2?(?Xi)??i?1?(Xi?A)?i?12nn （4）
应该指出，标准误差?和各测量值的误差?Xi有着完全不同的意义，?并不是一个具体的测量的误差值，而是一个统计性的特征量。当测量列的标准误差为?时，该测量列中各测量值的误差很可能都不等于?，但可以证明，该测量列中任一测量值的随机误差落在(??,?)区间内的几率为68．3%。
还应该指出的是，在实际测量中，真值是无法确知的，我们只能用多次测量的算术平均值X来近似地代表真值A。因而只能用各测量值与算术平均值之差Vi?Xi?X（称为残差）来估计误差。
可以证明，在这种情况下，测量列的标准误差公式应修改为
n?＝?Vi2?(Xi?X)?i?12n?1n?1 （5）
上式表示的是一测量列中各测量值所对应的标准误差，那么各测量值的算术平均值X的随机误差如何估算呢?如前所述，从统计上讲X应比每一个测量值Xi都更接近于真值，应用误差理论可以证明，算术平均值X的随机误差?X为
n?X??n?(Xi?X)?i?12n(n?1) （6）
注意，?X也是一个统计性的特征量，它表示X在(A??X,A??X)区间内的几率为68.3%。
由上式可知，随着测量次数n的增加，?X将减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减少随机误差的意义所在。但在n?10后，?X变化很慢，所以，测量次数过多也没有多少实际意义，综合各种因素考虑，在我们的实验中一般取6?n?10。
4）单次测量的误差估计
在实际测量中，经常会遇到没有必要或不可能对某一被测物理量进行多次测量的情况，这时我们就对待测量进行单次测量。
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单次测量没有测量列，没有算术平均值，我们只能将这一测量值本身作为真值的近似值。同时，单次测量也不存在所谓数据的发散性问题，但这绝不意味着单次测量不存在误差。事实上，单次测量的误差与所用仪器的精度，测量者的实验技能等均有关系，当作粗略估计时常取仪器的最大误差?仪们作为单次测量的误差估计值。
所谓仪器的最大误差?仪就是指在正确使用仪器的条件下，测量值的最大误差，它一般同时包含着系统误差与随机误差两种成分。
一般的计量仪器上都标明了仪器的“准确度级别”，它通常是由制造工厂和计量机构使图1-3用更精确的仪器、量具经过检定比较后得出的，在测量时可根据准确度的级别推算出仪器的最大误差?仪（具体内容参见下一章）。
对一些连续刻度的仪器，仪器的最大误差常简单取作最小刻度的一半。例如，米尺的仪器误差常取为0．5mm。
如果要较细致地分析仪器误差，则应注意到一般测量时仪器误差的概率分布规律呈现图1—4所示的均匀分布特征。例如，眼睛引起的瞄准误差，机械
图1-4
秒表在其分度值内不能分辨引起的误差都具有图示的均匀分布特征。
可以证明，服从均匀分布的仪器的最大误差所对应的标准误差为
?仪＝?仪3 （7）
5）直接测量量的不确定度的分析
（1）不确定度的概念。我们知道，测量的目的是为了寻求真值。但我们通过实验无法真正得到真值，我们能得到的，只是真值的最佳近似值，这一方面说明实验中必然存在误差，另一方面同时说明了误差也并不能通过实验或计算而准确得到。所以，80年代以来在工程技术测量、计量工作和实验中等各领域已开始根据国际计量委员会（BIPM）所通过的关于“实验不确定度表示的说明建议书”的精神，采用不确定度来评价测量的准确性。
所谓不确定度，简单理解就是测量值不确定的程度，是对测量误差大小取值的测度，或者说，是对待测量的真值的可能范围的估计。不确定度是测量结果表述中的一个重要参数，此参数合理地说明测量值的分散程度和真值所在范围的可靠程度。不确定度亦可理解为，一定置信概率下误差限的绝对值，记作△。
不确定度和误差是两个不同的概念，它们之间既有联系，又有本质区别。误差是指测量值与真值之差，一般来说，它是未知的，无法确切表达的量。而不确定度是指误差可能存在的范围，这一范围的大小能够用数值表达。
（2）直接测量量的不确定度计算。为综合考虑实验中的各种误差情况，通常将不确定度分为两类分量：
不确定度A类分量：指多次重复测量后用统计方法算出的分量，用?A表示。 不确定度8类分量：指不能用统计方法计算而需用其他方法估算的分量，用?B表示。 当两类不确定度都存在时，总不确定度为它们的方和根合成。
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??22?A??B
（8）
① 多次测量的不确定度计算。在物理实验教学中，当对某一物理量进行多次直接测量后，我们约定取
?A??X ?B??仪＝?仪3
（9） （10）
即取多次重复测量的平均值的标准误差为不确定度A类分量，取仪器的标准误差为不确定 度B类分量，则
2 ?x??2 A??Bn?(?Xi)?i?12n(n?1)?(?仪）32 （11）
② 单次测量的不确定度计算。对单次测量，不存在不确定度的A类分量，而B类分量可取为仪器的最大误差，为
?x??B??仪
（12）
有时，式（12）算出的单次测量的不确定度可能会小于用式（11）算出的多次测量的不确定度，但这并非说明单次测量反而比多次测量准确。实际上，两者的“置信概率”不等，即在所计算出的不确定度内包含真值的概率不等。另外，多次测量后如果测量列中各数据基本一样或完全相同。这并不能说明测量得非常准确，以至于不存在不确定度的A类分量，而只说明仪器的精度太低，多次测量已没有意义，在这种情况下取?x??B??仪是合理的选择。
6）相对误差与相对不确定度
上面所讲的标准误差、仪器误差等都是以误差的绝对大小来反映误差情况的，它们与被测量有相同的单位，称为绝对误差。但是，为了更全面地评定测量结果的优劣，还需考虑这一绝对误差对测量值本身的大小产生的相对影响，为此，引入相对误差的概念。
相对误差＝绝对误差测量值
（13）
即
E??XX
当待测量有公认值或理论值时，为衡量实验结果的优劣，可将测量值与公认值或理论值进行比较，用百分误差表示实验的误差情况，可写为
百分误差＝|测量值－公认值|公认值|X?X0|X0?100%
即
E0??100%
与误差情况类似，为了更全面、准确地反映实验的精度，还需考虑“相对不确定度”，它实际上就是相对误差范围的估计值。
相对不确定度＝不确定度测量值
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即
E??xX （14）
1.1.3 间接测量的结果与不确定度的合成
1）间接测量的结果与误差的传递
物理实验中的大部分物理量都需由间接计算得到，即在直接测量的基础上，通过一定的函数运算得到。显然，将各直接测量的结果（多次测量的平均值或单次测量的测量值）代入相应的测量公式就可得到所谓“间接测量的结果”。用x、y、z、?表示各独立的直接测量量，
N表示间接测量量，则可表示为
N?f(x,y,z,?)
（15）
由于各直接测量量都带有一定的误差，所以在此基础上得到的间接测量量也必然带有误差，这就是“误差的传递”问题。
当各直接测量量的绝对误差分别是?x、?y、?z、?时，间接测量量的误差?N如何呢?为回答这一问题，可考虑对上式进行全微分，即
dN??f?xdx??f?ydy??f?zdz??
（16）
众所周知，上式的数学意义是当x、y、z?分别有微小偏差dx、dy、dz、?时，N有相应的偏差dN。由于一般情况下，误差远小于测量值，故可将dx、dy、dz、?视为各直接测量量的误差?x、?y、?z、，而将dN视为间接测量的误差?N，则有 ?，?N??f?x?x??f?y?y??f?z?z?? （17）
上式可视为误差传递的基本公式。
若先对式（15）取自然对数后再全微分，则
lnN?lnf(x,y,z,?)
dNN??lnf?xdx??lnf?ydy??lnf?zdz??
同理可得
?N??lnf???lnf???lnf?????y????x????z?? N?x?y?z?????? （18）
上式可视为相对误差的基本传递公式。
2）间接测量量的不确定度的合成
当我们用不确定度来反映测量的误差情况时，上面的误差传递问题实际上也就是不确定度的传递问题，或者也可以说，是不确定度的合成问题，因为从上面讨论的公式来看，间接测量量的不确定度总是由各个独立的直接测量量的不确定度合成的，但具体的合成方法不止一种。
（1）不确定度的绝对值合成法——不确定度合成公式之一。间接测量的不确定度就是对间接测量误差的一种测度，当我们不知道各直接测量量的误差的符号时，为避免对间接测量的误差估算不足，最保险的办法是将式（17）或式（18）中各项取绝对值，分别用不确定
?替换误差?x、?y、?z、度?x、?y、?z、?由此得到的不确定度的合成公式为
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