例如：
4.82??0.36754?34.01214.910?4.82?3.142?12.500714.910?15.14?0.84?16.0
1.2.2 测量结果的完整表述
1）测量结果的文字表述
综上所述，在物理实验中，要完整地表述一个已经测量好的物理量，应同时指明这个物理的测量值和不确定度（当然，一般情况下还应注明其单位）。
具体地说，我们应将测量结果用文字表述成如下形式：
Y?X??x
其中Y代表待测量，X为该待测量的测量值，它既可以是单次的直接测量值，也可以是相同条件下多次直接测量的算术平均值（最佳近似值），还可以是在直接测量后经过函数运算得到的间接测量值，?x则为测量的不确定度，它是一恒为正的量。
很多情况下，为了更准确地反映测量结果的优劣，还应同时注明测量值的相对不确定度。即
E??xX
结合前面讨论过的关于不确定度的计算方法，我们可以将各种情况下测量结果的完整文字表述总结如下：
（1）对单次直接测量
Y?X测??仪，E??仪X测
（2）对多次直接测量
Y?X??x?x??(Xi?X)n(n?1)2??仪32,E??xX
（3）对问接测量
Y?N??N,E??NN
这里N是由具体的函数运算得到的间接测量值，?N由不确定度的合成公式计算得到。
最后需要指出的是：我们将测量结果写成式（22）的真实含义是：待测量的真值在一定的概率水平上落在[X??x,X??x]的范围内，或者说，区间[X??x,X??x]以一定的概率包围真值。这里所说的一定的概率即为“置信概率”，而区间[X??x,X??x]称为“置信区间”。可以理解，置信概率与置信区间之间存在单一的对应关系，置信区间大，相应地置信概率就高，置信区间小，则置信概率低。在可忽略不确定度的B类分量?B的前提下，对应于正态分布，可以证明若用标准误差?代表不确定度?x，则置信概率为68.3%；当用2?代表不确定度时，置信概率为95.4%；而用3?代表不确定度时，置信概率为99.7%，已很接近100%。
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2）测量结果的有效数字表述
实验中的每一个测量值都要用有效数字表示，当然，最终的测量结果也应该用有效数字表述。那么，怎样正确地写出测量结果的有效数字表达式呢?或者说，怎样正确地确定测量值X及不确定度?x的有效数字位数呢?
首先，由于不确定度是对误差的估计值。因此，一般只能取一到两位，多取了是无意义的。为统一和简单起见，我们规定不确定度只取一位有效数字。
其次，根据有效数字的基本概念，测量值的有效数字应该由若干位准确数与最后一位欠准数所组成，而误差就发生在最后的欠准位上。所以，确定测量值X的有效数字位数的原则是“使X的最后一位与?x的所在位对齐”。
例如，L?1.01cm?0.02cm是正确的表达式，而I?360mA?0.5mA和V=78．32 V±0.5 V都不正确。
如果在实验中要同时表示出相对不确定度，则一般情况下，我们规定相对不确定度也只取一位有效数字，只有在它的首位是l或2时才可考虑多取一位。
如前所述，由不确定度决定有效数字是处理一切有效数字问题的基本原则，如果已知各直接测量量的完整表达式（测量值与不确定度），则应在计算出间接测量的不确定度以后再确定间接测量值的有效数字位数，并最终写出间接测量的结果表达式。
例1.3 已知N?AB/C,且A?9.82?0.01,B?11.52?0.02,C?98.6?0.1，求N的结果表达式。
解 先将A、B、C的测量值代人计算出N的测量值。
N?9.82?11.52?98.6?1.147
再计算不确定度?N，显然，这里应先计算相对不确定度：
E??NN???A???B???C??????????0.23% ?A??B??C?222所以
?N?E?N?1.147?0.23%?0.003
最后写出N的结果表达式为
N?1.147?0.003,E?0.23%
例1.4 已知金属环的外径D?3.600cm?0.004cm，内径d?2.880cm?0.004cm，高
h?2.575cm?0.004cm，求金属环体积的测量结果表达式。
解 V??4(D?d)h22，代入数据有
14?3.1416?(3.600?2.880)?2.575
322V??9.436cm
又 而
lnV?ln?lnV?D?4?ln(D?d)?lnh?lnV?d222
,?lnV?h2?2DD?d22,??2dD?d22?1h2
所以
E??VV??2D?D???2d?d??????2??h? ?22?2??D?d??D?d??h?17
?2?3.6???2?2.88??1?2[??????]?(0.004) 22?22??3.6?2.88??3.6?2.88??2.575?222?0.0081
所以 所以
3?V?E?V?0.08cm
3V?(9.44?0.08)cm,E?0.8%
例1.5 已知一圆柱体的质量M?14.06g?0.01g，高H?6.715cm?0.005cm，用千分 尺测得直径D的数据，如下表：
求其密度?的测量结果。 解
D?1n?Di?0.56447(cm)
A将6次测量的标准差作为不确定度
?A????类分量，即
2?(Di?D)n(n?1)?0.00014(cm)
将仪器标准误差作为不确定度B类分量，即
?B??仪?132?仪?0.00029(cm)4
所以 所以
???A??B?2.7?10cm?0.0003(cm)2D?(0.5645?0.0003)cm
根据圆柱体的密度公式 其密度的测量值为 ??
??4m?DH2
34?14.063.14?162?8.366(g/ cm)0.5?6456.715222而
E???????m??2?D???H??????????m??D??H?22 2??0.01??2?0.0003??0.005??????????14.06??0.5645??6.715??3 ?1.47?10?0.15%
3所以
???E??0.013?0.01(g/cm)
故测量结果应表示为
??(8.37?0.01)g/cm，E?0.15%
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1.3 数据处理的基本方法
我们做物理实验，一般都要进行定量的测量，得到一定的测量数据，但我们知道，一个完整的实验过程并不就此为止，我们还应对实验数据进行记录、整理、计算、作图与分析，即进行数据处理工作，从而寻求测量对象的内在规律，正确地给出实验结果，下面介绍几种常用的数据处理方法。
1.3.1 列表法
列表法是数据处理的基本方法，它能使测量数据表达清晰醒目，富于条理，有助于反映出物理量间的对应关系，同时，它还有利于提高处理数据的效率，减小和避免错误。
数据在列表处理时，应遵循以下原则：
（1）各栏目均应标明名称和单位，单位写在标题栏中，不要重复记在每个数字上。 （2）列入表中的数据主要是原始数据，处理过程中一些重要的中间结果也可列入表中。 （3）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理。 （4）表中的数据要正确反映测量结果的有效数字。
能在实验测量后做出一张规范的数据处理表格，虽不是一件很困难的事情，但也不是一蹴而就的，需要实验者在实验过程中进行认真的学习和训练。
1.3.2 作图法
作图在实验中也是常用的数据处理方法，通过作图可以把测量数据间的关系及其变化情况直观地表示出来，特别是对很难找到解析函数式的实验结果，可从图线上反映实验结果并寻求相应的经验公式。
按作图目的不同，作图法可分为图示法和图解法两类。 1）图示法
一组测量数据以及物理量之间的关系，可以用图线的形式表现出来，称为图示法。 物理实验中常用到两种图线，一种是表示在一定条件下两量之间依赖关系的图线，这种关系大都有一定的规律。例如，电阻的阻值随温度变化满足线性关系；二极管具有特定的伏安特性。画这类图线的方法是：依据观测的实验点，注意其变化的趋势，画出光滑的曲线。由于测量值存在误差，所以不能强求观测点都在曲线上，但应使不在曲线上的点大致均匀分布在曲线两侧（图1—6（a））。另一种图线表示的是两个无依赖关系的量之间的变化关系，例如，气温随时间变化的图线，电表的校正曲线等。画这类图线时图线必须过观测点，由于观测值不可能无限多且相邻观测点间两个量的关系并不清楚，因此，只能用直线将相邻观测点连接起来，使所作实验图线成为一条折线（图1—6（b））。
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图1—6
为尽可能准确反映各物理量间的对应关系，应按以下原则作图：
（1）作图需用坐标纸。一般选用直角坐标纸，有时，根据需要也可选用对数坐标纸、极坐标纸等。
（2）坐标轴的选择和坐标轴单位的标定。要根据实验数据的有效数字的位数来确定，、原则上数据中可靠的数字在图中亦是可靠的。数据中有误差的一位，在图中应是估计的，即应使坐标纸中的一小格对应于数据中可靠数字的最后一位。
要适当确定坐标轴的比例和起点，坐标轴的起点不一定取为零，以避免图纸上出现大片的空白区（图1－7（a））；同时注意选择横、纵轴的比例以使所作图线比较对称地充满大部分坐标纸空间（图1－7（b））。
图1－7
（3）标点与连线。在坐标纸上，实验点要以一定的符号，比如用*、○、×、等表示出来，然后，在兼顾各数据点的基础上，拟合成一条光滑的曲线或直线。
2）图解法
图解法就是利用已作好的图线，定量地求解一些问题。特别是当所作图线为直线时，采用此法尤为方便。例如，测量某电阻的阻值随温度的变化情况，已知阻值与温度成线性关系
Rt?R0(1?bt)。这样，在实验中测出一系列不同温度下的电阻值后，可作出一条Rt?t直线，
从直线上求出截距即得R0，求出斜率k后即得b。
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