?N??f?x?x??f?y?y??f?z?z??
（19）
?NN??lnf?x?x??lnf?y?y??lnf?z?z??
（20）
这种合成过程计算较简便，但计算结果往往偏大。一般适用于仪器较粗糙，实验精确度较低，系统误差较大的实验。
（2）不确定度的方和根合成法——不确定度合成公式之二。对仪器精度较高，系统误差较小的实验，考虑不确定度的合成时，则应注意到，事实上各分项误差的符号总有正有负，它们传递给间接测量量时总会抵消一部分，所以，上面的不确定度合成公式夸大了间接测量量的不确定度。
对以随机误差为主的不确定度的传递问题，更合理的合成方法是方和根合成法。即用以下两个公式计算问接测量量的不确定度和相对不确定度，即
?N???f?2??f?2??f?2??y?????x????z??
?x?y?z??????222222 （21）
?NN???lnf?2??lnf?2??lnf?2??y?????x????z?? ?y?z??x????? （22）
为较科学地反映实验中的误差和不确定度情况，考虑到物理实验是基础课程的特殊性，
?。建议一般采用方和根合成法计算间接测量量的不确定度?x、?y、?z、计算过程分为三步：
?。 ① 先分析确定各直接测量量的不确定度?x、?y、?z、② 根据函数关系N?f(x,y,z、。 ?)写出N的全微分式（16）
③ 用式（21）或式（22）计算N的不确定度?N或相对不确定度?N/N。
例1．1 用不确定度的方和根合成法推导加减运算和乘除运算的不确定度的合成公式 解
2??y，而 （1）设N?x?y，则dN?dx?dy，应有?N??2x?NN??x??yx?y22 2??y，而 （2）设N?x?y，则dN?dx?dy，仍有?N??2x?NN??x??yx?y22
222?y??yx，而 （3）设N?xy，则dN?(dx)y?(dy)x，应有?N??2x?NN???y???x???? ??y?x???22 11
或 因
lnN?lnx?lny ?lnx?x?1x,?lny?y2?1y
2故
x
1y2?NN???y???x???? ???x??y? （4）设N?y,则dN?(ydx?xdy)，应有 ?N?1y2(?xy)?(?yx)2222 而 或 故
?NN???y???x???? ???x??y?lnN?lnx?lny ?NN??y???x???? ??y?x???22?一般函数的不确定度合成公式也可用相类似的方法得到，现将一些常用的不确定度的方和根合成公式列入表l－1中。
表1－1 常用函数的不确定度传递公式
从上面的讨论中可以看出：
① 对加减运算，总是先算不确定度，而对乘除运算，总是先算相对不确定度较方便。 ② 和差的不确定度的平方总是等于参与运算的各量的不确定度的平方和。
③ 积商的相对不确定度的平方总是等于参与运算的各量的相对不确定度的平方和。 以上所述的加减运算或乘除运算，均指独立测量量间的运算，若是稍复杂些的四则运算，或一般的函数运算，则应根据式（19）、（20）和（21）、（22）进行运算。
例1．2 设N?解
x?yx?y，试用方和根合成法推导不确定度传递公式。
?N?x?x?y?x?y(x?y)2 ??2y(x?y)2
12
?N?y2?x?y?x?y(x?y)22?2x(x?y)2
?N?2??N?2??N?2??????xy??2(x?y)??x???y??NN?2x?y22y?x?x?y 2222y?x?x?y2222
1．2 有效数字与测量结果的表述
1.2.1 有效数字及其运算
1）有效数字的概念
物理实验离不开物理量的测量，直接测量需要记录数据，间接测量既要记录数据，又要进行数据的运算。记录时取几位数字，运算后保留几位数字，这是实验中面临的一个十分重要的问题，为了正确地反映测量结果的准确度，需引入有效数字的概念。我们把正确和有效地表示测量结果（即大小与不确定度）的数字称为有效数字。
例如，我们用最小分度为1 mm的米尺去测量一物体的长度，始端和米尺零线对齐，终端落在21.7cm和21.8cm
图1－5
之间（图1－5），可最终读数为21.78cm。显然前三位是按米尺的刻度直接读出的，是可靠的，准确的。最后一位是在最小分度之间估读的，是存有误差的，不确定的，或者说是可疑的，尽管可疑，读出这一位比不读出这一位要准确些，所以这一位仍是有效的。这样，21.78cm即为正确表示测量结果的有效数字。
如果我们再在第四位后估读一位或几位数字，就没有什么实际意义了，因为第四位已是可疑数字，其后面的数字将更可疑，甚至是无效的。
此可见，有效数字总是由若干位准确数和最后一位欠准数（可疑数）构成的，所以有效数字的位数就等于全部的准确数的位数加l。
2）有效数字的意义
有效数字当然能表示测量结果的大小，这一点与普通数字是一样的。那么，有效数字与普通的数字相比，究竟有什么不同呢?
我们知道，对普通的数学意义上的数字而言，l.55=1.550=1.5500，但是，对物理实验中的测量值而言，l.55?1.550?l.5500，因为即使认为它们有相同的数值大小，它们的准确度不同，或者说，它们的测量误差不同。
可见，有效数字的意义在于，它除了具有普通数字所具有的表示测量值大小的功能外，还具有另一项重要的功能——反映测量结果的不确定度的情况，而这两点，对一测量数据而言是缺一不可的。
下面我们就来分析一下怎样通过有效数字来反映不确定度的情况。
13
（1）有效数字与不确定度的关系。我们知道，有效数字的前若干位都是准确数，只有最后一位是欠准的，而误差就发生在这一位上。显然，欠准位在哪一位上，直接反映了测量值的不确定度的大小，两单位相同的数字欠准位愈靠前不确定度愈大；反之，不确定度愈小。所以，我们可以这样来表述有效数字与不确定度的关系：有效数字中欠准位所在位置反映了不确定度的大小。例如l2．8 cm与12．84 mm相比，前者的不确定度比后者大。
（2）有效数字与相对不确定度的关系。我们知道，对一个测量值的准确性进行评价时，除了要看其不确定度外，更要看其相对不确定度的情况。显然，一个测量值的有效数字位数愈多，最后一位上的不确定量对整个测量值的影响就愈小，这个数所反映的相对不确定度就愈小。所以，我们可以这样来表述有效数字与相对不确定度的关系；有效数字的位数反映了相对不确定度的大小。例如，2．3mm与22．3 mm相比，两者的不确定度处于同一量级，但相对不确定度前者比后者大一个量级。再如l．28 mm和112．8 mm相比，前者的不确定度小于后者，而相对不确定度大于后者。
3）有效数字的运算
间接测量的结果总是通过一定的运算得到的，那么运算中间及运算后结果的有效数字如何取舍呢?这就是有效数字的运算问题。
进行有效数字运算的总的原则有两条：
（1）由不确定度决定有效数字（其位数及欠准位位置）。 （2）最后运算结果的有效数字中也只有一位欠准数。
有些情况下，我们不知道各直接测量量的不确定度的大小，而无法进行不确定度的合成计算，还有些情况，我们希望不作不确定度的计算，直接进行有效数字的简化运算。为此，我们先来讨论一些简单的有效数字运算规则。
（1）加减运算。总结上面关于加减运算的不确定度汁算法则可知：几个量相加减后，所得结果的不确定度总是大于参与运算的各个量中任一个量的不确定度。而我们知道，不确定度直接决定了有效数字的最后一位——欠准位的位置，由此不难理解有效数字的加减运算的近似运算法则为：
几个数相加减，最后结果的欠准位与各数中最靠前的那一欠准位对齐。 例如：
① 24.8+3.96?28．8 ② 537-61.28?476
在运算过程中，多余的数字按尾数舍?法处理，通常的做法是：小于5则舍，大于5则人，刚好等于5则把尾数凑成偶数（4舍6入逢5凑偶）这样可使舍和入的机会均等。
例如，将以下各数约简到小数点后第一位则有：
① 37.84?37.8 ② 16.78?16.8 ③ l0.75?10.8 ④ 2.25?2.2 ⑤ 2.251?2．3 （2）乘除运算。由乘除运算的不确定度计算法则可知，几个量相乘除后，积或商的相对不确定度总是大于参与运算的任一量的相对不确定度，而相对不确定度直接决定了有效数字的位数，由此我们不难理解乘除运算的有效数字近似运算法则是：
几个数相乘除后，最后结果的有效数字的位数以各数中位数最少的一个为准。 例如：
① 1.72×4.1?7．1 ② 5.39÷23?0.23
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对既有加减，又有乘除运算的混合运算，则可逐步按上述有效数字运算规则处理，以确定最后的有效数字。
例如
970.6?215.411.7?7.24?128?755.24.5?128?1.7?10?128?3.0?1022
（3）其他运算。
① 乘方、开方运算。不难理解，乘方、开方运算后的有效数字位数应与其底的有效数字位数相同。
例如：
25.36?643.1,236.87?6.072
② 对数运算。可以证明：对数运算后，其小数部分的位数可取得与真数的位数相同。 例如：
ln2.67?0.982lg2.67?0.427ln267?5.567 lg267?2.427
对其他函数运算（例如三角函数运算）原则上都遵循由不确定度决定有效数字的原则，即通过不确定度的传递运算，由x的不确定度确定f(x)的不确定度，最后确定f(x)的有效数字位数。
4）关于有效数字的几点说明
（1）在数字中间或数字后面的“0”都是有效数字，不能任意取舍。例如，l.005 cm,，15.0 mm与l5.00mm中的“0”都是有效数字，特别是要注意l5.0mm与15.00mm是两个不同的有效数字，因为它们的测量精度不同，前者可能是用米尺测定的，后者可能是用游标卡尺测定的。总之一个有效数字究竟取几位，是一件很严肃的事，所以，其后“0”绝不是可有可无，可多可少的。
（2）用以表示小数点位置的“0”不是有效数字，因为有效数字的位数与小数点的位置无关，也与十进制单位的变换无关。例如，L?1.28cm?12.8mm?0.0128m均为三位有效数字。
如果要以km为单位表示应为L=0．000 012 8 km，但这样书写很不方便，通常改写成L=1．28×10km。同样，若以?m为单位则可写成L=1．28×l0?m,但决不可写L=12800?m。
由此可见，当数字很大或很小时，用l0的幂指数来表示较方便又科学，且不易出错，这种方法称为“科学计数法”。例如，地球质量可表示为m?5.96?1024kg。电子的电荷e=-1．6022×10 C。其中有效数字部分是l0的幂指数的系数部分。一般规定小数点在第一位后面，而整个数的量级由l0的幂次体现。
（3）有效数字是对存在测量误差的测量值而言的，对参与运算的常数如
14-9-5
4
、2、?等，
其有效数字位数均可认为是无穷的，需要取几位就可取几位，一般情况下，像2、?这样的无理数在运算中可适当多取一位。
（4）不要因为计算过程处理不当而损失有效数字位数，所以，在中间运算过程中，为避免由于舍人过多而造成的不确定度进位，一般可先多保留一位，而在最后结果中仍只保留一位欠准数。
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