由于通过求直线的斜率和截距进而求得一些物理参数是很方便的，所以，在实际问题中当被测量间的关系为非线性关系时，我们总是想办法将非线性关系转化为线性关系。例如， 在用单摆测重力加速度的实验中已知T?求其斜率即可求得重力加速度g。
再如，在测加速度实验中可将S?V0t?24?g12222L，只要令y?T,x?L，则作出y~x直线，
at2改写成
St?V0?12at，作出
St~t直线，由此
可求出V0和a，这样的方法在图解法中称为“曲线改直”法。
1.3.3 最小二乘法和直线拟合
作图法虽然在数据处理中是一种很直观、方便的方法，但在图线的绘制上带有一定的主观随意性。同一组数据，不同的人作图，甚至同一个人对同一组数据在不同时刻所拟合的图线都会有所不同。因此，在根据图线确定有关参数时往往会引入附加误差。那么，有没有一种方法，对同一组数据拟合得到的是相同的完全客观的结果呢，答案是肯定的，这就是最小二乘法。
下面，我们简单讨论一下用最小二乘法确定一元线性拟合问题，由于不少非线性函数可通过数学变换变成线性函数，所以，这一方法具有较大的适用范围。
设某一实验中，可控制的物理量（例如，在测量电阻随温度变化实验中的温度）取x1、x2、?、xn值时，对应的物理量（例如，上例中的电阻）依次取y1、y2、?、yn，我们假定对各xi值的测量误差很小，即测量误差主要集中在yi的观测上。显然，从（xi,yi）中任取两组实验数据，就可以得出一条直线，只不过这条直线并不是我们寻求的最佳直线，误差可能较大。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这组观测到的数据中求出一误差最小的经验公式y?a?bx，这条直线并不会通过每一个实验点，但它将以最接近这些点的方式平滑地穿过它们，这才是我们所要拟合的最佳直线（见图l－8所示）。
很明显，对每一个xi值，观测值yi和在最佳 直线上的对应值y之间存在一偏差：
?yi?yi?y?yi?(a?bxi)
图1－8
如果y?a?bx确实是最佳直线的话，就应使各yi的偏差?yi的平方和最小，即
S??(?yi)2
2??[yi?(a?bxi)]?min
上式中的各个xi、yi作为测量值都是已知量，a和b是待定的，因此，S实际上是a和b 的函数。令S对a和b的偏导数为零，即可求出a、b之值。即
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??S??2?(yi?a?bxi)?0???a ??S???2?(yi?a?bxi)xi?0???b即
令
???yi?na?b?xi?0 ?2???xiyi?a?xi?b?xi?0
x?1?xi,y?n?yi,xy?n?xiyi,xn
??y?a?bx?0?2??xy?ax?bx?0112?1?xin2
则
由此就可确定最佳直线方程y?a?bx中的系数为
?xy?x?y?b?22x?(x) ???a?y?bx下面举一个综合应用列表法、曲线改直法和最小二乘法进行数据处理的例子。 例1．6 已知凹面镜成像公式为?率半径，测得以下表中5组数据。
u11v?2r，其中u为物距，v影为像距，r为凹面镜曲
假定u的测量误差与v的测量误差相比可忽略，试用最小二乘法求凹面镜的曲率半径。 解 为用最小二乘法进行计算，可将成像公式改写为
uvuv2r?2ru?1
令x?u,y?，则y?。 x?1（曲线改直）
这里，可认为误差主要在y的测量上。为计算方便，可进一步列出如下表格：
所以 故
b?
2r?xy?x?rx?(x)22?0.0586
r?2/b?34.1(cm)
从测量数据中寻求经验方程或提取参数，称为回归问题。这里讨论的最小二乘法因涉 及的变量只有一个，拟合的方程是线性方程，故称为一元线性回归。这是一种最简单最基本 的回归问题。
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用回归法处理数据的关键之处在于函数形式的选取，函数形式的确定一般是根据理论 的推断或者从实验数据变化的趋势来推测。这样，对同一组实验数据，不同的人员可能取不 同的函数形式，得出不同的结果。为了判断所得的结果是否合理，在待定常数确定后，还需 要计算一下相关系数?。对于一元线性回归，?定义为
??xy?x?y[x?(x)][y?(y)]2222
可以证明，?的值总在0和1之间。?值趋近于l，说明实验数据点密集地分布在所拟合的直线的两旁，用线性函数进行回归是合适的，相反，如果?值远小于l而接近于0，说明实验数据对所拟合的数据很分散，即用线性回归不妥，应该考虑用其他函数重新试探。
除了线性函数外，物理学中常用的回归函数还有幂函数y?axb和指数函数y?aebx，相 应的相关系数的计算比较繁琐，可以通过计算机编程求出。
习 题
1．判断下列情况属于哪一类误差： （1）千分尺零点不准。 （2）检流计零点漂移。 （3）电表引入误差。 （4）读数瞄准误差。
（5）电压扰动引起电压表读数不准。 （6）温度变化引起米尺热胀冷缩。
2．有下列几个数：（1）109.20 cm，（2）0.010 8 m，（3）1.000 l s，（4）9.800 0 kg，（5）20.45℃，（6）2.50?104 mm。问每个读数中哪位是欠准的，哪些数字是准确的，所用仪器的最小刻度是怎样的，各读数中分别有几位有效数字。
3．改正下列错误：
（1）0.0221?0.0221?0.00048841 （2）
200?200020.80?16.8?100000
（3）L?(10.800?0.2)m （4）m?(1.8?0.005)g （5）S?12km?100m
（6）V?(3.4612?10?2?5.07?10?4)cm/s （7）L?28cm?280mm
（8）(8.54?0.02)(m)?(8540?20)(mm)
4．利用有效数字的近似运算规则，计算出下列各式的结果： （1）327?0.136 （2）5.21?0.39 （3）1232?6.3?437?87
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（4）（5）（6）
436?1.53?10.84523?10.37
501.0?(132.5?16.2)(102.0?3.0)?(100?0.3)100.0?(5.6?4.412)(78.00?77.0)?10.000?110.05．试用方和根合成法导出下列各间接测量量的不确定度公式： （1）g?4?2L/T2 （2）???0（3）R?（4）f?m1m1?m2（忽略?0的误差）
R1R2
uvu?v6．计算下列结果：
（1）N?A?2B?4C,已知A?(25.3?0.2)mm,B?(9.0?0.3)mm,C?(476?2)mm （2）V??D2H，已知D?(6.003?0.003)cm,H?(8.095?0.002)cm
41（3）r?h1/(h1?h2)，已知h1?(45.51?0.02)cm,h2?(12.20?0.02)(cm) （4）y?lgx，已知x?1220?2 （5）y?sin?，已知??45°30′?2′
（6）y?bsin?/a，已知a?(0.24?0.01)cm,b?(12.13?0.03)cm,??18°26′?1″ 7．某同学在弹簧劲度系数的测量中得如下表中的数据，其中F为弹簧所受的作用力，
y为弹簧的长度。
试用图解法处理数据，从而求出弹簧的劲度系数k及弹簧的原有长度y。 8．将上题用最小二乘法处理，求k和y0。
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