特殊情况，简写为
。
，此时? =0，有，即矢量自身的点积为其模的平方。有时也
矢量的叉积(矢积)
两矢量 与 的叉积(或称为矢积)为一个矢量，记为 ，即
(1.2-8)
它的方向垂直于两矢量 与 构成的平面，且三矢量 、、 的正向依次遵循右手法则(见图1-1b)。定义矢量 的模为
(1.2-9)
其中? 为两矢量 与 的夹角。
(3)几何矢量的运算性质 加法运算遵循结合律与交换律
矢量的和运算遵循结合律与交换律，即有
结合律：交换律：
(1.2-4) (1.2-5)
矢量的点积的交换律 矢量的点积有交换律，即
(1.2-7)
矢量的叉积无交换律 矢量的叉积无交换律，但有
矢量的点积与叉积的分配律 矢量的点积与叉积有分配律，即
(1.2-10)
(4)一些有用的公式
由矢量的基本运算可以得到如下常用的较复杂的运算关系式：
(1.2-11) (1.2-12)
(1.2-13) (1.2-14)
式(1.2-13)左边称为三矢量的两重叉积，式(1.2-14)左边称为三矢量的混合积。 (5)矢量基(简称基)
矢量基的定义与基矢量的右旋正交性
图1-2 矢量基与基矢量
矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采用比较多的是矢量的代数表达方法。为此首先需要构成一个参考空间，即用过点O 的三个正交的单位矢量
依次按右手法则(见图
1-2)构成一个坐标系，称之为矢量基(简称基)。点O 称为该矢量基的基点。这三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量。根据三个基矢量的正交性，有如下的关系式
其中，??? 称为克罗内克(L. Kronecker )符号，即
(1.2-15) (1.2-16)
(1.2-17)
(?, ?=1,2,3)
而 ???? 称为李奇 (Ricci) 符号，即
(?, ?, ? =1, 2, 3，且 )
(1.2-18)
基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算
将基矢量 构成一个矢量列阵，即
（1.2-19）
它来表示这个矢量基。对于不同的基，在上加上标进行区分。例，基基b与基r，即
与基分别表示
,
矢量列阵是标量列阵的拓展。矢量阵运算的定义在形式上与一般的矩阵运算定义一致，只是在运算中将一个矢量作为一个标量元素处理。例如对于矢量阵与矢量，以下算式成立： 矢量与矢量阵的点积运算：
（1.2-20）
，
矢量与矢量阵的叉积运算：
（1.2-21）
矢量阵与矢量阵的点积运算：
（1.2-22）
矢量阵与矢量阵的叉积运算：
（1.2-23）
需要注意的是以上的算式中点积与叉积的运算符不能遗漏，对于叉积运算的次序不能交换。 考虑到3个基矢量的归一性和右旋正交性，（1.2-22）与（1.2-23）分别可化简为
（1.2-24）
（1.2-25）
1.2.2 矢量的代数描述
(1) 矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵
图1-3 矢量在基上的分矢量与坐标
在某个矢量基上，根据矢量和的定义，任意矢量可通过如图1-3所示三个矢量的和表示，其矢量运算表达式为
其中
、
与
（1.2-26）
分别为与基矢量方向一致的三个矢量，称它们为矢量在相应基矢量
上的三个分矢量，或简称为分量。三个标量系数 a1, a2, a3 分别称为矢量在三个基矢量上的坐标。它们分别为三个分矢量的模。这三个坐标构成一个标量列阵称为矢量在该矢量基上的坐标阵，记为
（1.2-27）
三个坐标还可定义一个反对称方阵，记为
（1.2-28）
称此方阵为矢量在该矢量基上的坐标方阵。不难验证，此坐标方阵成立
（1.2-29）