有
根据方向余弦矩阵定义即可得式(1.3-13)。 (6) 不同基下矢量坐标方阵间的关系式为
(1.3-14)
请读者注意坐标阵与坐标方阵变换式(1.3-13)与(1.3-14)的差别。事实上，如果引入任意矢量，考虑到表1.2-1与上式，矢量式
在基
与
下的坐标式分别可表为
，
由式(1.3-13)，，将以上两式代入，经整理有
考虑到矢量的任意性，两边乘A，考虑到性质(4)即可得式(1.3-14)。
rb(7) 方向余弦阵的行列式等于1，即
(1.3-15)
事实上，考虑到与表1.2-1， 有
(j=1,2,3)为基矢量在上的坐标阵，由行列式定义
由行列式定义
由表1.2-1，上式可表为
又考虑到
1.4 平面矢量
，代入上式可得(1.3-15)。
1.4.1二维矢量基与平面矢量的定义
在理论力学中经常遇到这样一类问题，即矢量及其变化过程均在某一参考平面内。为了表达简洁起见，引入平面矢量的概念。
图1-8 平面矢量
定义一参考平面，用一个二维的矢量基描述，即，其中与为基矢量，基点为
O(见图1-8)。该参考平面的法线方向记为。参考平面内任意矢量和任意点P的矢径均
为该平面内的矢量，称为平面矢量。
1.4.2平面矢量的坐标阵，平面矢量运算与坐标阵运算间的关系
平面矢量可认为是空间矢量的特殊情况，即平面矢量的z分量始终为零。定义平面矢量在二维参考基的坐标阵
，任意矢量可表示为
(1.4-1)
任意点P矢径在参考基的二维坐标阵为坐标。基矢量与的坐标阵分别为
与
。其元素点P在二维的矢量基上的。
令任意两个平面矢量与，它们的坐标阵分别为a =(ax ay)与b =(bx by)，如下平面矢量运算和对应的同一基下的二阶矩阵的运算成立：
(1.4-2) (1.4-3) (1.4-4)
TT
其中? 为一标量，为平面矢量。
根据式(1.4-3)，任意一个平面矢量与矢径和的关系可表为
1.4.3两平面矢量的叉积和平面法矢量与平面矢量叉积的特殊性
然而，对于任意两个平面矢量与叉积，按定义（见图1.1b），它始终是一个垂直参考平面的矢量，即有
其模为。引入一个特殊的符号
(1.4-5)
矢量的模可表为
(1.4-6)
这样任意两个平面矢量与叉积可表为
(1.4-7)
图1-9 矢量与的关系
考虑法矢量与平面矢量的叉积，记为模与矢量相同，方向垂直于矢量，故有
(见图1-9)。按定义它是一平面矢量，其
(1.4-8) (1.4-9)
考虑到式(1.4-1)与基矢量的正交性，矢量也可表为
将矢量的模记为，利用式(1.4-5)，可得矢量与的坐标阵间的关系为
1.4.4二维矢量基间的方向余弦阵
(1.4-10)
图1-10 两平面基的关系
如图1-10所示，如果在参考平面上有两个基
，
相对于基
的方向
基点分别为O与C。两基的第三个基矢量均为平面的法单位矢量。基余弦阵可用一个2×2的标量阵来描述
其中列阵a1=(A11 A21)与a2=(A12 A22)分别为基矢量转置b1=(A11 A12)与b2=(A21 A22)分别为基矢量图1-11来记忆。如果定义角?为参考基
T
T
T
T
与在参考基的坐标阵。而行阵的
与在参考基与基
的坐标阵。上述关系可用
的夹角，且以绕
的基矢量的基矢量
的正向转动为正(见图1-10)，则两基的方向余弦阵为
图1-11 方向余弦阵Arb元素的几何意义
(1.4-12)
上式对时间求导，利用式(1.4-5)，有
(1.4-13)
1.4.5方阵的应用
由以上的公式推导可见，2×2阶矩阵在描述平面运动的矩阵表达式中很有用。不难验证，此矩阵有如下性质
读者不难验证，方阵与方向余弦阵的乘积有如下的性质
(1.4-11)