(2) 在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系
由矢量对时间导数的定义与矩阵对时间导数的公式，不难得到一些矢量运算在某基下对时间导数的矢量运算式，现列于表1.2-2的左列。根据矢量在某基下对时间的导数式，
表1.2-2 矢量对时间导数运算与同一基下坐标阵运算的关系
矢量运算式 坐标阵运算式 或
表1.2-2左列的矢量运算式对应的坐标运算式为表1.2-2右列所示。例如，对于表1.2-2第一行的左列，其左边可表为
其右边为
将以上两式代入表1.2-2第一行的左列，考虑到同一基下坐标阵相等，可得到相应的矩阵式如表1.2-2第一行的右列。读者不难类似推导表中后3行的对应关系。表中最后一行的推导，用到了如下关系式，读者不难给予证明。
（1.2-39）
对于例1.2-5 的矢量，可以理解为三个矢量相加，该例也可
利用表1.2-2的第二行的关系求解。即直接对矢量求导，有
1.3 方向余弦阵
1.3.1两矢量基方向余弦阵的定义
如前所述，矢量的坐标阵与矢量基有关。对于两个不同的矢量基
rb与，同一个矢量分
别有两个坐标阵a与a，它们之间应存在一定的关系。在讨论此关系前，需先引入方向余弦阵的概念。
对于两个不同的矢量基与，即
(1.3-1)
定义以下 3×3 方阵为基相对于基的方向余弦阵：
(1.3-2)
如果所定义的参考基
b为公认或在约定的情况下，基相对于基的方向余弦阵A有时可
rb简写为A或A。展开式(1.3-2)有
(1.3-3
)
可见方向余弦阵的元素为两个基的基矢量的点积，又由矢量的点积公式，这些点积为单位矢
rb量夹角的余弦，这也就是将矩阵A称为方向余弦阵的原因。 1.3.2方向余弦阵元素与两矢量基基矢量坐标阵间的关系 根据矢量坐标阵公式
由式
不难看出，方向余弦阵的三行构成的列阵量
(i=1,2,3)在
的坐标阵。即有
(i=1,2,3)依次为基的基矢
(1.3-4)
(i=1,2,3)
式(1.3-4)的3个关系可用如下矩阵式表示：
对照方向余弦阵的定义，得到
(1.3-4')
同理，方向余弦阵的其三列(j=1,2,3)在
上的坐标阵。有
(j=1,2,3)依次为基的基矢量
(1.3-5)
(i=1,2,3)
上式可简写为
rb(1.3-5')
方向余弦A的上述关系可用图1-7所示的表来理解。在已知某基的基矢量在另一基的坐标阵的情况下，可直接按图写出两基的方向余弦阵。
图1-7 方向余弦阵A元素的几何意义
1.3.3方向余弦阵元素间几何约束方程
rb既然
得到如下15个关系式：
(j=1,2,3)为基矢量在上的坐标阵，则由基矢量的性质，可
(j=1,2,3)
(1.3-6) (1.3-7a
) (1.3-7b
) (1.3-7c
) (1.3-8a
)
(1.3-8b
)
(1.3-8c
)
由于式(1.3-7)的3个方程描述三个基矢量正交，式(1.3-8) 的9个方程表示三个基矢量依次右旋正交。后9个方程可由前3个方程得到，故这12个式子只有3个独立，加上(1.3-6)的3个方程，这样方向余弦阵中的9个量需满足6个独立的方程，称为方向余弦阵元素的几何约束方程。由此可知，9个方向余弦矩阵的元素中只有3个是独立的。 1.3.4方向余弦阵的一些性质 方向余弦阵有如下一些性质：
(1) 基相对于基的方向余弦阵A和基
rb相对于基的方向余弦阵A互为转置。
br
(1.3-9)
(2) 当两个基的基矢量的两两方向一致，则它们的方向余弦阵为三阶单位阵。
(1.3-10)
(3) 若有三个基、与，其中 相对于 和相对于 的方向余弦阵分别为
Ars 与 Asb ，有
(1.3-11)
事实上，由矢量基的变换公式，有
读者可根据上标的排列记住上述关系。此关系可推广到有限个基的方向余弦阵转换。 (4) 方向余弦阵是一正交阵。
事实上，作为式(1.3-11)特殊情况，考虑到式(1.3-9)与(1.3-10)，有
故有本性质，即
(1.3-12)
(5) 不同基下矢量坐标阵间的关系式为
(1.3-13)
事实上，对于矢量 a ，由式