§4 学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重于学以致用的原则
? 学习运筹学要结合实际的应用，不要被一些概念、理论的困难吓倒。
? 学习运筹学要把注意力放在“结合实际问题建立运筹学模型”和“解决问题的方案或模型的解”两头，中间的计算过程尽可能让计算机软件去完成。
? 本书附有运筹学教学软件，使用方法很简单。学员必须尽快学会使用这个运筹学教学软件，并借助它来学好本课程。学习运筹学是为了用于实践，解决实际问题。以前重视人工计算是因为没有计算机，现在有了就应该好好利用。
§4 学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重于学以致用的原则
? 例如，有人要从北京去乌鲁木齐。在一百多年以前，我们应该告诉他如何配备粮草、银两、衣物，如何选购马匹、马车，挑选马夫和保镖，如何根据天气、地理条件和社会诸因素来确定行车路线和行程，更重要的是如何在几个月的行程中处理吃穿住行，应付突发事件等问题；但是现在我们只需告诉他如何去北京飞机场，如何在乌鲁木齐下飞机后提取行李和坐车就可以了，其余的问题交给航空公司和机组人员就行了。完全没有必要为了一次旅行攻读空气动力学、喷气发动机设计和制造、飞行器驾驶手册等厚厚的教科书。
? ―他山之石，可以攻玉‖。本书配套的计算机软件如同上例中的―飞机‖，它可以为你节省出大量的时间和精力用在问题建模，以及解决方案的分析和完善上。
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第二章 线性规划的图解法
?§1 问题的提出
?§2 图解法
?§3 图解法的灵敏度分析
在管理中一些典型的线性规划应用
? 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 ? 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 ? 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大
? 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 ? 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 ? 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小 线性规划的组成：
?目标函数 Max F 或 Min F
?约束条件 s.t. (subject to) 满足于
?决策变量 用符号来表示可控制的因素
§1 问题的提出
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？ 线性规划模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
? 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案；
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件
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? 一般形式
目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。 下面通过例1详细讲解其方法：
例1.目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
s.t. x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
(1) 分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。
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（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所决定的半平面。
（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分，如图2-1所示。
（4）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为―等值线‖。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
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? 线性规划的标准化内容之一：——引入松驰变量（含义是资源的剩余量） 例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 300 2 x1 + x2 + s2 = 400 x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0 对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有 可能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
? 重要结论：
– 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1 中的目标函数变为max z=50x1+50x2， 则线段BC 上的所有
点都代表了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1 的数学模型中再增加一个约束条件
4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
– 进 一 步 讨 论
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成本最低？
解：目标函数： Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125 2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
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