第五步：分析运行结果。
– 本题中目标函数的最优值是27500，x1=50, x2=250。
– 相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。
– 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则表示与之相对应的资源已经全部用上。
– 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的最优值。
– 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。 – 常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当约束条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。当前值是指现在的取值。
以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右边值的灵敏度分析都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的基础上得出的！ 2.当有多个系数变化时，需要进一步讨论。
百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右边常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍是原 来几个线性方程的解）。
* 允许增加量 = 上限 - 现在值 c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25 * 允许减少量 = 现在值 - 下限 c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50
* 允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量 * 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
例： c1 变为 74 , c2 变为 78, 则 (74 - 50) / 50 + (100 - 78 ) / 50 = 92%，故最优解不变。 b1 变为 315 , b3 变为 240, 则 (315 - 50) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。
在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意：
1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作0；
2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过100%并不一定变化；
3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化的情况。这种情况下，只有重新求解。
? 下面用―管理运筹学‖软件来分析第二章的例2，其数学模型如下：
目标函数：
Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
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从上图可知，当购进原材料A 250t，原料B 100t时，购进成本最低，为800万元。
? 在松弛/剩余变量栏中，约束条件2的值为125，它表示对原料A的最低需求，即对A的剩余变量值为125；同理可知约束条件1的剩余变量值为0；约束条件3的松弛变量值为0。
? 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A的下限从125t增加到126t，那么总成本将加大，由800万增加到804万。当然如果减少对原料A的下限，那么总成本将得到改进。
? 在常数项范围一栏中，知道当约束条件1的常数项在300—475范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变；当约束条件2的常数项在负无穷到250范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不变，仍为0；当约束条件3的常数项在475—700内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件3的对偶价格不变，仍为1。
? 注意：
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当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量称之为影子价格。在求目标函数最大时，当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增加的数量就为改进的数量，所以影子价格等于对偶价格；在求目标函数值最小时，改进的数量就是减少的数量，所以影子价格即为负的对偶价格。
―管理运筹学‖软件可以解决含有100个变量50个约束方程的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题。如果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由芝加哥大学的L.E.Schrage开发的Lindo计算机软件包的微型计算机版本Lindo/PC。
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第四章 线性规划在工商管理中的应用
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§1人力资源分配的问题； §2生产计划的问题； §3套裁下料问题； §4配料问题； §5投资问题。
§1人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
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目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
§2生产计划的问题
例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸
造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和
产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15 产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13 产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9 产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
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§2生产计划的问题
例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两
道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型: s.t. 5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2 ） 6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1 ） 4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2 ） 7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等） xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：
利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样得到目标函数：
Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 –
300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-
250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).
经整理可得：
Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
§3套裁下料问题
例5．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 解： 共可设计下列5 种下料方案，见左表：
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