? 用―管理运筹学‖软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0；
只需90根原材料就可制造出100套钢架。
? 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。
§4配料问题
例6．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；
目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有
(x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：
s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制） xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
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例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？
解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 目标函数为飞机汽油1的总产量： 库存量约束为：
产量约束为飞机汽油2的产量：
?x21?x22?x23?x24?250000由物理中的分压定律， n 可得有关蒸汽压力的约束条件：
PV?pjvj
j?1
2.85x11?1.42x12?4.27x13?18.49x14?02.85x21?1.42x22?4.27x23?18.49x24?0同样可得有关辛烷数的约束条件为：
16.5x11?2.0x12?4.0x13?17.0x14?07.5x11?7.0x12?13.0x13?8.0x14?0maxx11?x12?x13?x14?x21?x22?x23?x24?250000?x?x?380000?1121?x12?x22?265200??408100?x13?x23?x?x?130100?1424??2.85x11?1.42x12?4.27x13?18.49x14?0?2.85x21?1.42x22?4.27x23?18.49x24?0??16.5x11?2x12?4x13?17x14?0?7.5x?7x?13x?8x?021222324???xij?0,(i?1,2;j?1,2,3,4) 22
由管理运筹学软件求解得：
max(x11?x12?x13?x14)?933399.938x11?261966.078x12?265200x13?315672.219x14?90561.688x21?118033.906x22?0x23?92427.758x24?39538.309§5投资问题
例8．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给
项目 风险指数（次/万元） 以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年
A 1 每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目
B 3 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能
C 4 收回本利125%，但规定每年最大投资额
D 5.5 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，
第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五 年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。
据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
2）约束条件：
第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
B、C、D的投资限制： xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 3）目标函数及模型：
a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
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xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b)所设变量与问题a相同，目标函数为风险最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
在问题a的约束条件中加上―第五年末拥有资金本利在330万元‖的条件，于是模型如下： Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
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第五章 单 纯 形 法
? §1 单纯形法的基本思路和原理 ? §2 单纯形法的表格形式
? §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的单纯形表解法 ? §4 几种特殊情况
§1 单纯形法的基本思路和原理
一．单纯形法的基本思路：
从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。 通过第二章例1的求解来介绍单纯形法: 在加上松弛变量之后我们可得到标准型如下： 目标函数： max? 50x1+100x2? 约束条件：x1+x2+s1≤300，? 2x1+x2+s2≤400，? x2+s3≤250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
它的系数矩阵 ,
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的基本概念。?
基： 已知A是约束条件的m×n系数矩阵，其秩为m。若B是A中m×m阶非 奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B是线性规划问题中的一个基。 基向量：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。 非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。? 基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基
110???变量为零，再求解这个mB??元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基100???101?本解。 ??在此例中我们不妨找到了 为A的一个基，令这个基的非基变量x１，s2为零。
这时约束方程就变为基变量的约束方程：
x2+s1≤300，? x2=400，? x2+s3=250.
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