从上表中可知检验数都小于零。已求得最优解为：
x1=250,x2=100,s1=0, s2=125,s3=0,a1=0,a2=0，
其最优值为 f=-z=-(-800)=800。
二、两阶段法
两阶段法是处理人工变量的另一种方法，这种方法是将加入人工变量后的线性规划划分两阶段求解，
仍以上面的例题为例，阐述两阶段法的求解过程。
第一阶段：要判断原线性规划是否有基可行解，方法是先求解下列线性规划问题： 目标函数： maxz??a1?a2; 约束条件： x1?x2?s1?a1?350,
x1?s2?a2?125,2x1?x2?s3?600,x1,x2,s1,s2,s3,a1,a2?0.
注意：此线性规划的约束条件与原线性规划一样，而目标函数是求人工变量的相反数之和的最大
值。如果此值大于零，则不存在使所有人工变量都为零的可行解，停止计算。如果此值为零，即说明存在
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一个可行解，使得所有的人工变量都为零。
第二阶段：将第一阶段的最终单纯形表中的人工变量取消，将目标函数换成原问题的目标函数，把此可行解作为初始可行解进行计算。
从表中可知其基本可行解x1=250,x2=100,s1=0,s2=125,s3=0是本例的最优解，其最优值为z=-(-800)=800。
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§4 几种特殊情况
一、无可行解
例1、用单纯形表求解下列线性规划问题
目标函数maxz?20x1?30x2约束条件3x1?10x2?150,x1?30,x1?x2?40,x1,x2?0.
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量、剩余变量、人工变量得到：
目标函数maxz?20x1?30x2?Ma1约束条件3x1?10x2?s1?150,x1?s2?30,x1?x2?s3?a1?40,x1,x2,s1,s2,s3,a1?0.
填入单纯形表计算得：
从第二次迭代的检验数都小于零来看，可知第2次迭代所得的基本可行解已经是最优解了，其最大的目标函数值为780-4M。我们把最优解x1=30,x2=6,s1=0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三个约束方程得x1+x2-0+4=40,即有：x1+x2=36≤40. 并不满足原来的约束条件3，可知原线性规划问题无可行解，或者说其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。像这样只要求线性规划的最优解里有人工变量大于零，则此线性规划无可行解。
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二、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件下目标函数值可以取任意的大。下面我们用单纯形表来求第二章中的例子。
例2、用单纯形表求解下面线性规划问题。
目标函数maxz?x1?x2约束条件x1?x2?1,?3x1?2x2?6,x1,x2?0.目标函数maxz?x1?x2约束条件x1?x2?s1?1,?3x1?2x2?s2?6,x1,x2,s1,s2?0.解：在上述问题的约束条件中加入驰变量，得标准型如上： 填入单纯形表计算得：
从单纯形表中，从第一次迭代的检验数等于2，可知所得的基本可行解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代，那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, =-1,找不到大于零的 来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可以断定这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下，此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形表中，得到约束方程：
x1?x2?s1?1,移项可得： x?1?x?s,121 ?x2?3s1?s2?9.s2?x2?3s1?9.
不妨设x2?M,s1?0,可得一组解：x1?M?1,x2?M,s1?0,s2?M?9.显然这是线性规划的可行解，此时目标函数z?x1?x2?M?1?M?2M?1.由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法：在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并且该列的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
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三、无穷多最优解
例3、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。
目标函数maxz?50x1?50x2约束条件x1?x2?300,2x1?x2?400,x2?250,x1,x2?0.解：此题我们用图解法已求了解，现在用单纯形表来求解。
加入松弛变量s1,s2,s3，我们得到标准形：目标函数maxz?50x1?50x2约束条件x1?x2?s1?300,2x1?x2?s2?400,x2?s3?250,x1,x2,s1,s2,s3?0.填入单纯形表计算得：
这样我们求得了最优解为x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此线性规划的最优值为15000。这个最优解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的检验数中除了基变量的检验数 ? 1 , ? 2 ,? 4 等于零外，非基变量s3的检验数也等于零，这样我们可以断定此线性规划问题有无穷多最优解。不妨我们把检验数也为零的非基变量选为入基变量进行第3次迭代。可求得另一个基本可行解，如下表所示：
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