?5．设幂级数
?anxn在x??2处收敛,则该幂级数在x?32处必定 n?1A． 发散； B． 条件收敛； C． 绝对收敛； D． 收敛性不能确定． 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) ??1．若级数
?un收敛于s，则级数
un?un?2)收敛于 ．
n?1?(n?1??(?1)n2．级数2p当 时，绝对收敛，当 时条件收敛．
n?1n?2n3．幂级数??3nxn的收敛半径为n?1n ．
4．函数a3x(a?0,a?1)展开成x的幂级数是 ．
5．函数f(x)?1x2?3x?2展开成x?3的幂级数是 ．
三、解答题(本题共5小题，满分70分) 1．(28分)判别下列级数的收敛性： ?1?(1)
?n?1n?1?n； (2) ?en?n!n?1nn； ??n?(?1)n?(3)
?2； (4)
．
n?1?1n?1?n401?x4 dx2．(14分)求下列幂级数的收敛半径和收敛区域:
?(1) ?1xn?(x?2)2nnnn?13?(?2)n； (2) ?2． n?13n?13．(14分)求下列幂级数的和函数： ?(1)
?n(n?1)xn? ； (2)
(x?1)n．
n?1?nn?14．(7分)将函数f(x)?arctan2x展开成x的幂级数．
16
5．(7分)将函数f(x)?1(x?1)2展开成x?2的幂级数．
期末测试卷
一. 单选题(每题2分，共10分)
1. 已知y=f(x)的定义域为[－2, 2]，则y=f(1+x)+ f(1－x)的定义域为 Ａ. [－1,1]; Ｂ. [－2, 2]; C. [－3, 1]; D. [－1, 3]
2. 当x→0时,下列函数为x2的等价无穷小的是
A. x2 +x ; B. x2 + 1; C. 3 x2 + x3; D. x2 + 3x3 3. f(x)?x3?x在区间[0, 3]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=
A. 0 ; B. 2 ; C.
32; D. 3 4. f(x,y)?ln(x?x2?y2),(x?y?0), 则f(x?y,x?y)?
A. ln(x?y); B. 2ln(x?y);
C.
12(lnx?lny); D. 2ln(x?y) 5. 微分方程y??cosx?y?sinx?1的通解为
A. y?sinx?cosx; B. y?sinx?cosx; C. y?sin2x?ccosx D. y?sinx?ccosx 二. 填空题(每题２分，共１０分)
?1. 设f(x)??sinax1??(1?ax)x,x?0,?x 在点x = 0 连续, 则常数a=__ ?a?2,x?02. 设x?ln1?t2,y?arctant, 则dydx?____________ 3. 设y?3x?x3, 则y(4)?____________________
4. 设z?xln(x?y),则
?2z?x?y(0,1)?_______________
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5. 改变积分次序:
?dx?01x0f(x,y)dy??dx?122?x0f(x,y)dy?________
三. 计算题(每题6分，共66分) 1. 求极限lim(x?1x1?) x?1lnx0x22. 求极限x?0?limarctantdtx3
2sin2xy?(1?x), 求y? 3. 设
4. 设方程xy?1?ey确定y为x的函数, 求y??(0)
x?earctanxdx 5. 求不定积分?21?xe31dx 6. 计算定积分?1x1?lnx?2zy7. 设z?arctan, 求
x?x?yxz?ln确定z为x, y的隐函数, 求全微分dz 8. 设方程zy9. 设区域D:??x?y?4?, 计算二重积分
222222sinx?ydxdy ??D?y??ytanx?secx10. 解微分方程?
y(0)?1?11. 解微分方程
(x?1)y??1?3e?y
四. 证明题(6分): 证明当x＞0时,有ex?1?(1?x)ln(1?x) 五. 应用题(8分): 求曲线面积, 并求t使该面积最小.
y?x2,y?1,y?0,x?t(0?t?1)在第一象限所围平面图形的
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高等数学测试题答案
第一章自测题答案
一. 1． A； 2． B； 3． C； 4． D； 5． A； 6． B； 7． C； 8． D； 9． B； 10． B．
二．1． 当x?0时为1，当x?0时为-1，当x?0时为0；
2．
12； 3．1； 4． 12； 5． e?2 ； 6．0； 7． limf(x)??4， f(x)?x2x?1?3x?8；
8．等价无穷小； 9． a = 4， l=10； 10． c?ln2．
三． x = 0为f [g(x)]的第一类(跳跃)间断点，x = ?1为g[f (x)]的第一类(跳跃)间断点．
第二章自测题答案
一．(1)2x?y?2?0； (2)?13edx； (3) 1； (4) 0； (5)ln43； (6)
13g2(x)?1； (7)0； (8)y?3(x??2)； (9)?5f?(x0)； (10)1． 二．(1)C；(2)A；(3)A；(4)C；(5)C；
(6)B；(7)C；(8)A；(9)B；(10)D．
a?4，b?1；(2)sec2三． (1)e12tane； (3) 1； (4)2dx；
(5)0； (6)x?yx?ydx.； (7) y = 1 – ex； (8)12.
第三章自测题答案
二. 1．
94； 2． 单调增加； 3． a??213,b??6；
4． 最小值y(14)= –ln2，最大值y(1)=0．
5． a?1,b??3,c??24,d?16．
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四． 极大值f(1)?13，拐点A???0,1??1?4??， B??2,4??．
五． 列表
x (–∞，0) 0 (0，2) 2 (0， +∞) y“ + 不存在 – 0 +
y= f (x) 凹 拐点(0，0) 凸 拐点(2，2e-2
) 凹 六． 列表 x (?∞ ，
85)
85 (?85 ，2) 2 (2 ， + ∞) f‘(x) + 0 – 不存在 +
3(22 f (x) 单调增加 极大值355) 单调减少 极小值0 单调增加 七． f(263)=3为最小值． 八． 底宽为404??＝2.366m．
第四章自测题答案
一. 1．
arcsinxx?C； 2．23x3?C． 二. 1．B； 2．D． 三. 1．
13tan3x?tanx?x?C；2．121?2x2?C． 3．?1?x2x?C； 4．2arcsinx2?C． 5．?1xlnx?C； 5．2xarcsinx?21?x?C； 7．tanx?1cosx 8．ln(x?2)3?C； x?1?C． 四．x?2ln(x?1)?C． 第五章自测题答案：
一、1、0；2、0；3、1． 二、1、D；2、A．
三、1．
?3；2、16；3、2?4?3?；4、ln2?2?2；5、3；6、8．
四、2． 五、?3． 六、2． 七、92．
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