第二部分 空间与图形
20、线段与角
思考练习
1、已知线段AB＝16，C为AB上的一点，且AC∶CB＝3∶5，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长．
A
M
C N
B
2、在直线l上取A、B两点，使AB＝10cm，再在l上取一点C，使AC＝2cm， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长．
3、在一条直线形流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？
P
100m 200m A区
B区
C区
A1 A2 A3 A4 A5
4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?
5、如图，已知?AOE和?COG都等于90?，
G F E
D C B O A ?BOC??FOG，则图中以O为顶点的锐角共有_____个．
6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______． 7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___． 8、小明家在车站O的东偏北18?方向300米处，学校B在车站O的南偏西10?方向200米，小明经车站所走的?AOB?______度
9、若?AOB与?BOC互为补角，OD是?AOB的平分线，OE在?BOC内，?BOE?D A B E 1?EOC，?DOE?72?，求?EOC． 2O
A
C
10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．
11、如图，OM是?AOB的平分线，射线OC在?BOM内部，
O 1 3 4 2 N B
M C
ON是?BOC的平分线，已知?AOC?80?，求?MON的度数．
38
12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )
A、3 B、1或3 C、1或2或3 D、不一定是1、2、3
13、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30?，求这两个角． 14、如图，已知AB∥CD，?A?110?，?C?120?，则?CEF?_______．
15、如图，已知AB与CD相交于点O，OE、OF、OG分别是?AOC、?BOD、?AOD的平分线，求证：(1) E、O、F三点共线；(2) OG?EF．
说出下列证明每一步推理的理由： 证明：(1) ∵?AOD??DOB?180?，
C 11又?GOD??AOD，?FOD??DOB，
221∴?GOF?(?AOD??DOB)?90?， 同理?EOG?90?，
2∴?EOF??EOG??GOF?180?， ∴E、O、F三点共线． (2) ∵?EOG?90?，∴OG?EF．
16、如图，平行直线a与b被两条相交直线所截，请数出图中 有多少对同旁内角．
a b A F
C
D D F
O G
B
E A B E
21、三角形的边角关系
例题讲练
例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图现要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA?HB?HC?HD最小，说明理由．
解：维修站H建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H的一点E，连EA、EB、EC、 ED， 则EA?EC?AC，EB?ED?BD，
D H C
EA?EB?EC?ED?AC?BD?HA?HB?HC?HD． A
E B
例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a、b、c，且a?b?c．则a?15 2当a?7时，b?7,c?1；b?6,c?2；b?5,c?3；b?4,c?4．
39
当a?6时，b?6,c?3；b?5,c?4； 当a?5时，b?5,c?5． 所以满足条件的三角形共有7个．
例3 若直角三角形的两条直角边长为a、b, 斜边长为c斜边上的高为h, 则有( ) (A)ab?h (B)
2111111?? (C) 2?2?2 (D) a2?b2?2h2 abhabh222222答：∵a＞h＞0，b＞h＞0，∴ ab＞h，a?b＞h＋h＝2h；可见，（A）、（D）
不正确；设斜边为c，
111111(a?b)h＞ch?ab，即有?＞，故（B）也不正确； 222abh11111a2?b2h?ab, 化简整理后，得 2?2?2，因些结论（C）是正确的 由22abh思考练习
1、若?ABC的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为______
5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用____根钢管才能稳固，请在图中画出来．
2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ __个． 3、在?ABC中，?ABC??ACB，?ACB?2?A，
A
BD平分?B，BE?BD，图中有___个等腰三角形．
4、在?ABC中，若?A??B?90?，则?ABC是( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形
6、一个凸n边形的内角和小于1999, 那么, n的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
7、一个凸n边形的内角和超过1000?，则n的最小值是( ) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
0E
D
B C
8、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．
图(一)
40
请你按照上述方法将图(二)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n边形．
图(二)
9、给定平面上的几个点，已知1、2、4、8、16、32都是其中两点之间的距离，那么点数N的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7
10、?ABC内共有n个点，连结这些点(含A、B、C共n?3个点)可将?ABC个割成若干个不重叠的小三角形，问有多少这样的三角形？
11、过平面内点O任意作7条直线，证明：以点O为顶点的角中，必有一个小于26?． 12、平面内有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中，必有一个小于26?．
22、角度计算
例题讲练
例1 已知在?ABC中，D、E分别在边AC、AB上， 且AB?AC、BC?BD、AD?DE?EB，求?A的度数．
略解：设?A的度数为x，易见?A??AED?x，
E D A ?BED?180??x?EDC?2x，
B 180??(180??x)x?EBD??EDB??
22x333?ABC??C??BDC?2x??x， ∴x?x?x?180?，
2222∴x?45?．
例2 在ΔABC中,AB = AC, AD = AE, ∠BAD =60, 求∠EDC的的度数．
略解：设?CAD?2?，由AB = AC知，
∠B＝
0C
A E
B D
C
1(1800?600?2?)?600?? 2?ADB?1800??B?600?600??, 由AD = AE知，?ADE?900??,
∴?EDC?180??ADE??ADB?30．
00 41
思考练习
1、如图：求?A??B??C??D??E??F的度数．
2、如图，若EF和CF是?E和?F的平分线，若?B?40?，?D?50?，求?F． 3、如图，点D在?ABC的边BC上，且BD?DA?AC，?BAC?63?，求?DAC．
A
A F
E
D
N E F A B G H
C D
B C
B
D
C
4、如图，AB?BC?CD，AD?AE，DE?BE，求?C的度数．
5、如图，?ABC中，?B?40?，延长BA至E，作?EDA?56?，?E与?C的平分线交于F，求?EFC的度数．
6、如图，ΔABC中，∠A，∠B的外角平分线AD、BE分别交对边的延长线于点D、E， 且AD =AB =BE．求∠BAC的度数．
C
7、在ΔABC中，AB = AC， AD = AE，
B D E
F
B A
A B D C
D
A E A C E ?BAD?60，求∠EDC的度数．
8、在下列三个图形中，已知?ABC?8?，???90?． (1) 在图1中若?1??2，则?A?_____
(2) 在图2中若?1??2，?3??4，则?A?_____
0E B D
C
(3) 在图3中若?1??2，?3??4，?5??6，……，?n?1??n，(n是大于等于1的自然数)，试推出?A的度数x与n的关系式．
B
B
θ 图1
2 1 A 3 4 2 图2
A
C
B
1 C
θ
A
4 3 n 5 2 42
1 C
图3